Espacio cociente

4. Espacio cociente

Este apartado amplía el concepto de espacio cociente y muestra cómo trabajar con clases laterales, operaciones en el cociente, ejemplos y cómo calcular una base y la dimensión.

4.1. Definición: clases laterales y relación de equivalencia

Sea $V$ un espacio vectorial y $U\subseteq V$ un subespacio. Definimos una relación en $V$ por

\[ v\sim w \quad\Longleftrightarrow\quad v-w\in U. \]

Es fácil verificar que $\sim$ es una relación de equivalencia. La clase de equivalencia (o clase lateral) de $v$ se denota

\[ [v]=v+U=\{v+u:\ u\in U\}. \]

Las clases laterales particionan $V$ y las clases distintas son disjuntas.

4.2. Espacio cociente $V/U$

El espacio cociente $V/U$ es el conjunto de todas las clases laterales:

\[ V/U=\{[v]:v\in V\}. \]

Definimos operaciones en $V/U$ por

\[ [v]+[w]=[v+w],\qquad \alpha [v]=[\alpha v]. \]

Hay que comprobar que estas operaciones están bien definidas: si $[v]=[v']$ y $[w]=[w']$, entonces $[v+w]=[v'+w']$ y $[\alpha v]=[\alpha v']$ (usar que las diferencias pertenecen a $U$ y que $U$ es subespacio).

Con estas operaciones $V/U$ es un espacio vectorial.

4.3. Proyección canónica

Existe la proyección canónica (o mapa natural)

\[ \pi:V\to V/U,\qquad \pi(v)=[v]. \]

Es un homomorfismo lineal y tiene nucleo $\ker\pi=U$; además $\pi$ es sobreyectiva por construcción. Este mapa es útil para relacionar propiedades de $V$ y $V/U$.

4.4. Dimensión y bases

Si $V$ es de dimensión finita y $U$ subespacio, entonces

\[ \dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U). \]

Consecuencia práctica: si $W$ es un subespacio complementario de $U$ (es decir $V=U\oplus W$), entonces la aplicación

\[ W\to V/U,\quad w\mapsto [w] \]

es un isomorfismo; así las clases de equivalencia de los vectores de una base de $W$ forman una base de $V/U$.

Ejemplo constructivo para obtener una base de $V/U$:

Encuentra una base de $U$ y complétala a una base de $V$ (método estándar de "completar a base").
Los vectores añadidos a la base de $U$ (los que completan hasta la base de $V$) proyectan a una base de $V/U$.

4.5. Ejemplo en $\mathbb{R}^3$

Sea $V=\mathbb{R}^3$ y $U=\mathrm{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}$. Observamos que $U$ tiene dimensión 2 (las dos columnas son independientes). Entonces $\dim(V/U)=3-2=1$.

Para obtener una base de $V/U$:

Completamos una base de $U$ a una base de $\mathbb{R}^3$. Por ejemplo, las columnas de la matriz $$ A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix} $$ contienen una base de $U$ (las dos primeras columnas) y un vector adicional $(0,0,1)$ que completa la base.
La clase $[(0,0,1)]$ genera $V/U$. En coordenadas, cualquier $v\in\mathbb{R}^3$ se expresa como $v=u+\lambda (0,0,1)$ y su clase en el cociente queda determinada por $\lambda$.

4.6. Propiedades útiles y observaciones

Si $T:V\to W$ es una aplicación lineal con $U\subseteq\ker T$, entonces existe una única transformación lineal $\overline{T}:V/U\to W$ tal que $T=\overline{T}\circ\pi$ (propiedad universal del cociente).
Para calcular en la práctica en coordenadas, trabaja con la proyección canónica y, si es necesario, elige complementos y representaciones explícitas.

4.7. Ejercicios resueltos (rápido)

Ejercicio 1. Sea $V=\mathbb{R}^2$ y $U=\mathrm{span}\{(1,1)\}$. Calcular $V/U$ y su dimensión.

Solución: $\dim(V)=2$, $\dim(U)=1$ entonces $\dim(V/U)=1$. Una base de $V$ es $\{(1,1),(1,-1)\}$; proyectando el segundo vector obtenemos una base de $V/U$: $[(1,-1)]$.

4.8. Resumen y tabla de fórmulas

Resumen escueto:

Clases laterales: $[v]=v+U$.
Espacio cociente: $V/U$ con operaciones $[v]+[w]=[v+w]$, $\alpha[v]=[\alpha v]$.
Proyección canónica $\pi:V\to V/U$ con $\ker\pi=U$.
Dimensión: $\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)$.

Tabla de fórmulas:

Término	Fórmula	Mini descripción
Clase lateral	$[v]=v+U$	Conjunto $\{v+u:u\in U\}$.
Operaciones en $V/U$	$[v]+[w]=[v+w],\ \alpha[v]=[\alpha v]$	Bien definidas si $U$ es subespacio.
Proyección canónica	$\pi:V\to V/U,\ \pi(v)=[v]$	Homomorfismo lineal con $\ker\pi=U$.
Dimensión del cociente	$\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)$	Fórmula esencial para espacios finitos.
Isomorfismo con complemento	Si $V=U\oplus W$ entonces $V/U\cong W$	Las clases de una base de $W$ forman una base de $V/U$.

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Término	Fórmula	Mini descripción
Clase lateral	\([v]=v+U\)	Conjunto \(\{v+u:u\in U\}\).
Operaciones en \(V/U\)	\([v]+[w]=[v+w],\ \alpha[v]=[\alpha v]\)	Bien definidas si \(U\) es subespacio.
Proyección canónica	\(\pi:V\to V/U,\ \pi(v)=[v]\)	Homomorfismo lineal con \(\ker\pi=U\).
Dimensión del cociente	\(\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)\)	Fórmula esencial para espacios finitos.
Isomorfismo con complemento	Si \(V=U\oplus W\) entonces \(V/U\cong W\)	Las clases de una base de \(W\) forman una base de \(V/U\).