Fundamentos (términos y operaciones)

Fundamentos (Términos básicos y Operaciones)

En esta sección recogemos los conceptos y operaciones fundamentales que se usan de forma recurrente en álgebra lineal. El objetivo es ofrecer definiciones precisas, ejemplos resueltos paso a paso y una tabla de fórmulas de referencia.

1. Vectores y espacios $\mathbb{K}^n$

Vector: un vector en $\mathbb{K}^n$ es una lista ordenada $v=(v_1,\dots,v_n)$ con $v_i\in\mathbb{K}$.
Espacio $\mathbb{K}^n$: conjunto de todos los vectores de dimensión $n$ con suma y producto por escalares definidos componente a componente.
Escalar: elemento de $\mathbb{K}$ (por ejemplo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) que multiplica vectores.

Para $n\le 3$ los vectores se pueden representar gráficamente (puntos o flechas), lo que ayuda a entender operaciones como suma y proyección.

2. Operaciones básicas

Definimos las operaciones de suma y producto por escalares de forma componente a componente:

\[ v+w=(v_1+w_1,\dots,v_n+w_n),\qquad \alpha v=(\alpha v_1,\dots,\alpha v_n). \]

Ejemplo 1 (suma y producto por escalar):

Sean $v=(1,2,3)$ y $w=(2,0,-1)$ en $\mathbb{R}^3$ y $\alpha=3$.

Suma: $v+w=(1+2,\,2+0,\,3+(-1))=(3,2,2)$.
Escalar: $\alpha v=3(1,2,3)=(3,6,9)$.

3. Producto escalar y ortogonalidad

El producto escalar (o dot product) entre $v,w\in\mathbb{K}^n$ es

\[ v\cdot w=\sum_{i=1}^n v_i w_i. \]

Propiedades relevantes:

$v\cdot w = w\cdot v$ (conmutativo).
$v\cdot v=\|v\|_2^2\ge 0$.
Si $v\cdot w=0$ decimos que $v$ y $w$ son ortogonales.

Ejemplo 2 (producto escalar):

Sea $v=(1,2,3)$ y $w=(2,0,-1)$.

\[ v\cdot w = 1\cdot2 + 2\cdot0 + 3\cdot(-1)=2+0-3=-1 \]

4. Normas y distancia

Norma euclídea (2-norma):

\[ \|v\|_2=\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2} \]

Otras normas útiles:

Norma 1: $\|v\|_1=\sum_{i=1}^n |v_i|$.
Norma infinito: $\|v\|_\infty=\max_i |v_i|$.

Distancia entre vectores: $d(v,w)=\|v-w\|$.

Ejemplo 3 (norma): para $v=(1,2,3)$,

\[ \|v\|_2=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14} \]

5. Combinaciones lineales, span y subespacios

Dado $v_1,\dots,v_k\in V$, una combinación lineal es

\[ \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k,\quad \alpha_i\in\mathbb{K} \]

El span (subespacio generado) es el conjunto de todas las combinaciones lineales y se escribe $\mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}$.

Ejemplo 4: en $\mathbb{R}^2$, $\mathrm{span}\{(1,0)\}=$ la recta eje-x.

6. Matrices: definiciones y operaciones básicas

Una matriz $A\in M_{m\times n}(\mathbb{K})$ es un arreglo rectangular con $m$ filas y $n$ columnas. Operaciones fundamentales:

Suma: definida entrada a entrada.
Producto por escalar: cada entrada se multiplica por el escalar.
Producto matriz-vector: si $A$ es $m\times n$ y $x\in\mathbb{K}^n$, entonces $$ Ax=\begin{pmatrix}\sum_j a_{1j} x_j\\\vdots\\\sum_j a_{mj} x_j\end{pmatrix}\in\mathbb{K}^m $$
Producto de matrices: composición de productos matriz-vector.
Transpuesta: $A^T$ intercambia filas y columnas.

Ejemplo 5 (producto matriz-vector):

Sea $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\1&0\end{pmatrix}$ y $x=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$. Entonces

\[ Ax=\begin{pmatrix}1\cdot3+2\cdot4\\\\0\cdot3+1\cdot4\\\\1\cdot3+0\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\\\4\\\\3\end{pmatrix} \]

7. Inversa, rango y sistema lineales (breve)

Una matriz cuadrada $A\in M_{n\times n}(\mathbb{K})$ es inversible si existe $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$.
Rango: $\mathrm{rank}(A)$ es el número máximo de columnas linealmente independientes; también igual al número de pivotes en la reducción por filas.
Sistemas lineales $Ax=b$: soluciones se obtienen por eliminación gaussiana; si $A$ es invertible la solución única es $x=A^{-1}b$.

8. Proyección y componente ortogonal (intuición)

La proyección ortogonal de $v$ sobre un vector no nulo $u$ es

\[ \mathrm{proj}_u(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u. \]

Esta proyección da la componente de $v$ paralela a $u$. La componente ortogonal (o residual) se obtiene como

\[ v_{\perp}=v-\mathrm{proj}_u(v), \]

y satisface $v_{\perp}\cdot u=0$ (es decir, es ortogonal a $u$).

Función de ortogonalidad / test de ortogonalidad:

Definimos la prueba de ortogonalidad por la función escalar

\[ \mathrm{ort}(v,w)=v\cdot w. \]

Entonces $v\perp w$ (se dice que son ortogonales) si y solo si $\mathrm{ort}(v,w)=0$. Si se prefiere un indicador booleano:

\[ \mathbf{1}_{\perp}(v,w)=\begin{cases}1,&v\cdot w=0,\\\\0,&\text{si }v\cdot w\ne0.\end{cases} \]

Proyección sobre un subespacio $W$:

Si $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ generado por las columnas de la matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times k}$ (columnas independientes), la proyección ortogonal de $v$ sobre $W$ viene dada por la matriz proyectora

\[ P_W = A(A^T A)^{-1}A^T, \]

y por tanto

\[ \mathrm{proj}_W(v)=P_W v = A(A^T A)^{-1}A^T v. \]

Esta fórmula requiere que las columnas de $A$ sean linealmente independientes (para garantizar que $A^T A$ es invertible). La componente ortogonal respecto a $W$ es $v-v_{W}$ con $v_W=\mathrm{proj}_W(v)$.

Ejemplo (comprobación de ortogonalidad): en el ejercicio A anterior tomamos $v=(3,1)$ y $u=(1,1)$. Hemos obtenido $$\mathrm{proj}_u(v)=(2,2),\qquad v_{\perp}=v-\mathrm{proj}_u(v)=(1,-1).$$ Comprobamos la ortogonalidad: $(1,-1)\cdot(1,1)=1-1=0$.

Nota práctica: para proyectar sobre una recta generada por $u$ se puede usar la fórmula escalar (primera fórmula); para proyectar sobre un plano o subespacio de dimensión mayor conviene usar la matriz proyectora $P_W$.

9. Ejercicios resueltos (rápidos)

Ejercicio A. Calcular la proyección de $v=(3,1)$ sobre $u=(1,1)$.

Solución: $v\cdot u=3+1=4$, $u\cdot u=1+1=2$, así $$\mathrm{proj}_u(v)=\frac{4}{2}(1,1)=2(1,1)=(2,2).$$

Ejercicio B. Determinar si $v_1=(1,2,0)$, $v_2=(2,4,0)$ son linealmente independientes.

Solución: $v_2=2v_1$, por tanto son L.D. (dependientes).

10. Resumen y tabla de fórmulas

Resumen escueto:

Definición de vector, suma, producto por escalar.
Producto escalar y normas (distancia, ortogonalidad).
Combinaciones lineales y span; subespacios.
Matrices y producto matriz-vector; rango e inversa.
Proyección ortogonal y descomposición en componentes.

Tabla de fórmulas (vista rápida):

Término	Fórmula	Mini descripción
Suma de vectores	$v+w=(v_1+w_1,\dots,v_n+w_n)$	Suma componente a componente.
Producto por escalar	$\alpha v=(\alpha v_1,\dots,\alpha v_n)$	Multiplicación componente a componente.
Producto escalar	$v\cdot w=\sum_{i=1}^n v_iw_i$	Mide "alineamiento"; define ortogonalidad.
Norma 2	$\\|v\\|_2=\sqrt{v^2\cdot v^2}$	Longitud euclídea.
Proyección (sobre una recta)	$\mathrm{proj}_u(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u$	Componente de $v$ paralela a la recta generada por $u$.
Componente ortogonal	$v_{\perp}=v-\mathrm{proj}_u(v)$	Componente de $v$ paralela a la recta generada por $u$.
Proyector sobre subespacio $W$	$P_W=A(A^T A)^{-1}A^T$, $\mathrm{proj}_W(v)=P_W v$	Matriz proyectora y fórmula para proyectar sobre $W$.
Producto matriz-vector	$Ax$	Suma lineal de columnas de $A$ con coeficientes en $x$.
Rango	$\mathrm{rank}(A)$	Nº de columnas independientes (pivotes).
Inversa 2x2	$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$	Fórmula práctica para invertir $2\times2$.

Término	Fórmula	Mini descripción
Suma de vectores	\(v+w=(v_1+w_1,\dots,v_n+w_n)\)	Suma componente a componente.
Producto por escalar	\(\alpha v=(\alpha v_1,\dots,\alpha v_n)\)	Multiplicación componente a componente.
Producto escalar	\(v\cdot w=\sum_{i=1}^n v_iw_i\)	Mide "alineamiento"; define ortogonalidad.
Norma 2	\(\\|v\\|_2=\sqrt{v^2\cdot v^2}\)	Longitud euclídea.
Proyección (sobre una recta)	\(\mathrm{proj}_u(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u\)	Componente de \(v\) paralela a la recta generada por \(u\).
Componente ortogonal	\(v_{\perp}=v-\mathrm{proj}_u(v)\)	Componente de \(v\) paralela a la recta generada por \(u\).
Proyector sobre subespacio \(W\)	\(P_W=A(A^T A)^{-1}A^T\), \(\mathrm{proj}_W(v)=P_W v\)	Matriz proyectora y fórmula para proyectar sobre \(W\).
Producto matriz-vector	\(Ax\)	Suma lineal de columnas de \(A\) con coeficientes en \(x\).
Rango	\(\mathrm{rank}(A)\)	Nº de columnas independientes (pivotes).
Inversa 2x2	\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)	Fórmula práctica para invertir \(2\times2\).