Problemas integradores y adicionales

5. y 6. Ejercicios Paralelos: Fundamentos de Álgebra Lineal

0. Introducción a vectores y Operaciones Básicas

Ejercicio 0.1. Definición y Operaciones Básicas en \(\text{R}^4\) Dados los vectores \(v = (3, -1, 4, 0)\) y \(w = (1, 1, -2, 5)\) en \(\text{R}^4\).

(a) Calcule la suma \(v + w\).
(b) Calcule el producto por escalar \(2v\).
(c) Exprese la resta \(v - w\) utilizando la suma y el producto por un escalar y calcule el resultado.

Resultado Ejercicio 0.1

A continuación resolvemos cada apartado paso a paso y justificamos los cálculos.

Método/idea: las operaciones vectoriales se realizan componente a componente.
(a) Suma \(v+w\):

Calculamos la suma componente a componente:

\(v + w = (3+1,\; -1+1,\; 4+(-2),\; 0+5) = (4,\; 0,\; 2,\; 5).\)

Conclusión: \(v + w = (4, 0, 2, 5)\).
(b) Producto por escalar \(2v\):

Multiplicamos cada componente por 2:

\(2v = 2(3, -1, 4, 0) = (6, -2, 8, 0).\)

Conclusión: \(2v = (6, -2, 8, 0)\).
(c) Resta \(v - w\) usando suma y escalar:

Recordamos que \(v - w = v + (-1)w\). Calculamos \(-1\cdot w = (-1, -1, 2, -5)\) y sumamos con \(v\):

\(v - w = (3, -1, 4, 0) + (-1, -1, 2, -5) = (2, -2, 6, -5).\)

Conclusión: \(v - w = (2, -2, 6, -5)\).

Ejercicio 0.2. Cálculo de Normas Vectoriales Dado el vector \(u = (3, 0, -4) \in \text{R}^3\), calcule las siguientes normas:

(a) Norma euclídea (\(\|u\|_2\)).
(b) Norma 1 (\(\|u\|_1\)).
(c) Norma del máximo (\(\|u\|_\infty\)).

Resultado Ejercicio 0.2

Resolución paso a paso y explicación de las fórmulas usadas.

Método/idea: usamos las definiciones de cada norma.
(a) Norma euclídea (\(\|u\|_2\)):

Definición: \(\|u\|_2 = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\). Sustituimos:

\(\|u\|_2 = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5.\)

Conclusión: \(\|u\|_2 = 5\).
(b) Norma 1 (\(\|u\|_1\)):

Definición: \(\|u\|_1 = |u_1| + |u_2| + |u_3|\). Entonces

\(\|u\|_1 = |3| + |0| + |-4| = 3 + 0 + 4 = 7.\)

Conclusión: \(\|u\|_1 = 7\).
(c) Norma del máximo (\(\|u\|_\infty\)):

Definición: \(\|u\|_\infty = \max(|u_1|,|u_2|,|u_3|)\), luego

\(\|u\|_\infty = \max(3,0,4) = 4.\)

Conclusión: \(\|u\|_\infty = 4\).

Ejercicio 0.3. Producto Escalar y Ortogonalidad Dados los vectores \(a = (5, -3, 2)\) y \(b = (1, 4, -1)\) en \(\text{R}^3\).

(a) Calcule el producto escalar \(a \cdot b\).
(b) Determine si los vectores \(a\) y \(b\) son ortogonales.

Resultado Ejercicio 0.3

Resolución y justificación.

Idea: el producto escalar en \(\text{R}^3\) se calcula suma de productos componente a componente; dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.
(a) Producto escalar:

\(a \cdot b = 5\cdot 1 + (-3)\cdot 4 + 2\cdot(-1) = 5 - 12 - 2 = -9.\)

Por tanto \(a \cdot b = -9\).
(b) Como \(a \cdot b \neq 0\), los vectores NO son ortogonales.

Comentario: si el producto hubiese sido cero, habríamos concluido ortogonalidad.

Ejercicio 0.4. Proyección y Ortogonalidad de Vectores Sean \(u = (4, 1, 0)\) y \(v = (1, 1, 1)\) en \(\text{R}^3\).

(a) Calcule la proyección de \(u\) sobre \(v\) (\(\text{Proj}_v(u)\)).
(b) Calcule el vector ortogonal de \(u\) sobre \(v\) (\(\text{Ort}_v(u)\)).
(c) Verifique que \(\text{Ort}_v(u)\) es ortogonal a \(v\).

Resultado Ejercicio 0.4

Desarrollo detallado y comprobaciones.

Idea/método: usamos la fórmula de la proyección ortogonal sobre una recta generada por \(v\):

\(\text{Proj}_v(u) = \dfrac{u \cdot v}{v \cdot v}\, v.\)
(a) Cálculo de la proyección:

Primero calculamos los productos escalares necesarios:

\(u \cdot v = 4\cdot 1 + 1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 4 + 1 + 0 = 5,\)

\(v \cdot v = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3.\)

Entonces

\(\text{Proj}_v(u) = \dfrac{5}{3}\, (1,1,1) = \left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right).\)
(b) Vector ortogonal (residuo):

Definición: \(\text{Ort}_v(u)=u-\text{Proj}_v(u)\). Sustituimos:

\(\text{Ort}_v(u)=\left(4,1,0\right)-\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right)=\left(\dfrac{7}{3}, -\dfrac{2}{3}, -\dfrac{5}{3}\right).\)
(c) Verificación de ortogonalidad:

Comprobamos que \(\text{Ort}_v(u)\cdot v = 0\):

\(\left(\dfrac{7}{3}, -\dfrac{2}{3}, -\dfrac{5}{3}\right)\cdot(1,1,1)=\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}=0.\)

Conclusión: \(\text{Ort}_v(u)\) es ortogonal a \(v\).
Comentario final: la proyección mínima (en norma euclídea) de \(u\) sobre la recta generada por \(v\) se obtiene con la fórmula usada; el residuo es perpendicular a la recta.

1. Espacios vectoriales y bases

Ejercicio 1.1. Verificación de Espacios Vectoriales Sea \(M_{2 \times 2}(\text{R})\) el conjunto de matrices reales de orden \(2 \times 2\). Compruebe que \((M_{2 \times 2}(\text{R}), +, \cdot)\) es un espacio vectorial sobre \(\text{R}\) con la suma y producto por un escalar usuales. Indique una base canónica para este espacio y determine su dimensión.

Resultado Ejercicio 1.1

Desarrollo y justificación.

Idea: para demostrar que un conjunto con operaciones es un espacio vectorial basta verificar que cumple los axiomas (cierre bajo suma y producto por escalar, existencia de neutro y opuesto, asociatividad, distributividad, etc.). En el caso de matrices, las operaciones son las habituales elemento a elemento, por tanto las propiedades resultan de las propiedades de los reales.
Comprobaciones clave:

• Cierre bajo suma y producto por escalar: la suma de dos matrices 2×2 y el producto por un escalar producen matrices 2×2.

• Existencia de neutro aditivo: la matriz nula \(0_{2\times2}\).

• Existencia de opuesto: para \(A\) la matriz \(-A\).

• Leyes distributivas, asociativas y conmutativas: heredadas de las operaciones en \(\mathbb{R}\) aplicadas componente a componente.
Base canónica: las cuatro matrices que tienen un 1 en una entrada y 0 en las demás:

\(E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.\)

Cualquier matriz \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) se escribe como \(aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}\).
Dimensión: \(\dim(M_{2\times2}(\mathbb{R}))=4\).

Ejercicio 1.2. Dependencia e Independencia Lineal en \(\text{R}^n\) Analice la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

(a) \(S_1 = \{(1, 2), (-2, -4)\}\) en \(\text{R}^2\).
(b) \(S_2 = \{(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0)\}\) en \(\text{R}^4\).
(c) \(S_3 = \{(2, 1, -1), (4, 3, 2), (1, 0, 0), (-1, -1, -1)\}\) en \(\text{R}^3\).

Resultado Ejercicio 1.2

Estrategia: comprobar si existe una combinación lineal no trivial que anule los vectores (o utilizar rango de la matriz formada por las columnas/filas).

(a) \(S_1 = \{(1,2),(-2,-4)\}\): Observamos que \((-2,-4) = -2(1,2)\), por tanto hay dependencia lineal. Conclusión: L.D.
(b) \(S_2 = \{(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0)\}\): Cada vector añade una componente nueva (forma triangular). Si montamos la matriz con estas columnas obtendremos pivotes en las primeras tres filas, por tanto son linealmente independientes. Conclusión: L.I.
(c) \(S_3\) en \(\mathbb{R}^3\): hay 4 vectores en un espacio de dimensión 3, por el teorema de dimensión necesariamente son linealmente dependientes. Conclusión: L.D.

Ejercicio 1.3. Base, Generadores y Dimensión Sea \(S = \{(1, 2, 1), (2, 4, 2), (0, 1, 3), (1, 1, -2)\} \subset \text{R}^3\). Obtenga una base del subespacio generado \(U = \text{span}(S)\) y determine su dimensión.

Resultado Ejercicio 1.3

Procedimiento paso a paso.

Observación: \((2,4,2) = 2(1,2,1)\), por tanto el segundo vector es redundante.
Comprobamos si los vectores \(v_1=(1,2,1)\) y \(v_3=(0,1,3)\) son independientes: una combinación \(a v_1 + b v_3 = 0\) conduce al sistema

\(a + 0 = 0,\; 2a + b = 0,\; a + 3b = 0.\)

De la primera ecuación \(a=0\), luego \(b=0\). Por tanto son L.I.
Verificamos que \(v_4=(1,1,-2)\) se expresa en la combinación de \(v_1\) y \(v_3\): buscamos \(\alpha,\beta\) tales que \(\alpha v_1 + \beta v_3 = v_4\). Resolviendo

\(\alpha = 1,\; 2\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \beta = -1,\; \alpha + 3\beta = -2\) que se cumple con \(\alpha=1,\beta=-1\).
Conclusión: una base para \(U\) es \(\{(1,2,1), (0,1,3)\}\) y \(\dim(U)=2\).

Ejercicio 1.4. Dependencia Lineal en Espacios de Polinomios En \(P_2\) (polinomios de grado a lo sumo 2), estudie si el conjunto \(\{1 + x^2, x, x^2 - 2x\}\) es linealmente independiente.

Resultado Ejercicio 1.4

Desarrollo y justificación.

Planteamiento: consideramos una combinación lineal

\(a(1 + x^2) + b x + c(x^2 - 2x) \equiv 0\) (polinomio nulo para todo \(x\)).
Igualando coeficientes por potencias de \(x\):

• término constante: \(a = 0\).

• coeficiente de \(x\): \(b - 2c = 0\).

• coeficiente de \(x^2\): \(a + c = 0\) ⇒ con \(a=0\) se tiene \(c=0\).

Entonces \(b=0\).
Conclusión: \(a=b=c=0\) es la única solución ⇒ los polinomios son linealmente independientes (L.I.).

2. Coordenadas y cambio de base

Ejercicio 2.1. Coordenadas de un Vector En \(\text{R}^2\), sea la base \(B = \{u_1 = (1, -1), u_2 = (2, 0)\}\). Exprese el vector \(x = (5, 1)\) en coordenadas respecto a la base \(B\).

Resultado Ejercicio 2.1

Procedimiento (resolución de un sistema lineal).

Buscamos escalares \(\alpha,\beta\) tales que \(\alpha u_1 + \beta u_2 = x\).

Es decir:

\(\alpha(1,-1) + \beta(2,0) = (5,1)\) lo que da el sistema

\(\alpha + 2\beta = 5,\; -\alpha = 1.\)
De la segunda ecuación \(\alpha = -1\). Sustituimos en la primera: \(-1 + 2\beta = 5 \Rightarrow 2\beta = 6 \Rightarrow \beta = 3\).
Conclusión: \([x]_B = (-1,\; 3)^T\).

Ejercicio 2.2. Matriz de Cambio de Base En \(\text{R}^4\), sean dos bases: \(B_1 = \{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)\}\) (canónica \(C\)). \(B_2 = \{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)\}\).

(a) Calcule la matriz de paso \(P\) de \(B_2\) a \(B_1\) (\(P_{B2 \to B1}\)).
(b) Calcule la matriz de paso \(Q\) de \(B_1\) a \(B_2\) (\(P_{B1 \to B2}\)).
(c) Si \(v\) tiene coordenadas \([v]_{B2} = (1, 2, -1, 0)^T\), transforme estas coordenadas a la base \(B_1\).

Resultado Ejercicio 2.2

Solución y procedimiento.

(a) Como \(B_1\) es la base canónica, la matriz de paso \(P_{B2 \to B1}\) se obtiene poniendo como columnas las coordenadas de los vectores de \(B_2\) en la base canónica (es decir, las propias tuplas):

\(P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\)
(b) La matriz inversa \(Q = P^{-1}\) es la matriz de paso de \(B_1\) a \(B_2\).
(c) Para pasar coordenadas de \(B_2\) a la base canónica (B1) multiplicamos \(P[ v ]_{B2}\):

\([v]_{B1} = P\begin{pmatrix}1\\2\\-1\\0\end{pmatrix} = 1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 -1\cdot v_3 = (1,1,0,0) + (0,2,2,0) + (0,0,-1,-1) = (1,3,1,-1).\)

Conclusión: \([v]_{B1} = (1,3,1,-1)^T\).

3. Subespacios, ecuaciones paramétricas y cartesianas

Ejercicio 3.1. Verificación de Subespacios Determine si los siguientes subconjuntos de \(\text{R}^3\) son subespacios vectoriales:

(a) \(U = \{(x, y, z) : x = 2y, z = 3x\}\).
(b) \(W = \{(x, y, z) : x + y + z = 5\}\).

Resultado Ejercicio 3.1

Resolución y criterios.

(a) Para \(U = \{(x,y,z): x = 2y, z = 3x\}\) podemos parametrizar con \(y=t\):

\(x=2t,\; y=t,\; z=3(2t)=6t\) ⇒ \(U = \{t(2,1,6): t\in\mathbb{R}\}\).

Como contiene el vector nulo (\(t=0\)) y está cerrado bajo suma y escalares (proyección de una dimensión), es subespacio vectorial.
(b) \(W\) no contiene el origen (por ejemplo \((0,0,0)\) no satisface \(0+0+0=5\)), por tanto no es subespacio.

Ejercicio 3.2. Base y Dimensión a partir de un Sistema de Generadores En \(\text{R}^5\), sea \(U = \text{span}\{(1, 1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0, 0), (1, 0, -1, 0, 0)\}\). Halle una base de \(U\) y determine su dimensión.

Resultado Ejercicio 3.2

Idea: calcular rango de las generadoras (por eliminación o búsqueda de combinaciones lineales).

Observamos que \(-v_1 + v_2 + v_3 = 0\) (comprobación rápida):

\(- (1,1,0,0,0) + (0,1,1,0,0) + (1,0,-1,0,0) = (0,0,0,0,0)\),

por tanto son linealmente dependientes y rango \(=2\).
Tomando por ejemplo \(v_1=(1,1,0,0,0)\) y \(v_2=(0,1,1,0,0)\) como generadores independientes obtenemos una base:

\(\{(1,1,0,0,0),\; (0,1,1,0,0)\}\) y \(\dim(U)=2\).

Ejercicio 3.3. Transformación Paramétricas a Cartesianas En \(\text{R}^3\), el subespacio \(U\) está dado por las ecuaciones paramétricas:

\[ \begin{cases} x = s + 2t \\ y = s - t \\ z = 3s \end{cases} \quad (s, t \in \text{R}) \]

Obtenga la ecuación cartesiana (o ecuaciones) de \(U\).

Resultado Ejercicio 3.3

Eliminación de parámetros (procedimiento).

Escribimos el vector en función de \(s,t\):

\((x,y,z) = s(1,1,3) + t(2,-1,0).\)
Eliminamos \(s,t\): de la tercera componente \(z=3s \Rightarrow s = z/3\).

Sustituimos en la primera componente: \(x = s + 2t = z/3 + 2t\) ⇒ \(2t = x - z/3\) ⇒ \(t = (x - z/3)/2\).

Usamos la segunda componente: \(y = s - t = z/3 - t\). Sustituyendo \(t\) se llega a la relación

\(x + 2y - z = 0.\)
Conclusión: la ecuación cartesiana de \(U\) es \(x + 2y - z = 0\).

Ejercicio 3.4. Transformación Cartesianas a Paramétricas En \(\text{R}^4\), sea \(W\) el subespacio definido por las ecuaciones cartesianas:

\[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - x_4 = 0 \end{cases} \]

Obtenga las ecuaciones paramétricas de \(W\) y determine una base para \(W\).

Resultado Ejercicio 3.4

Procedimiento de resolución.

De las ecuaciones:

\(x_1 - x_2 + x_3 = 0,\; 2x_2 - x_4 = 0.\)
Tomamos parámetros \(s=x_2\), \(t=x_3\). Entonces

\(x_1 = x_2 - x_3 = s - t,\; x_4 = 2x_2 = 2s.\)
Parametrización: \((x_1,x_2,x_3,x_4) = s(1,1,0,2) + t(-1,0,1,0).\)
Base para \(W\): \(\{(1,1,0,2),\; (-1,0,1,0)\}\) y \(\dim(W)=2\).

Ejercicio 3.5. Intersección de Subespacios En \(\text{R}^3\), sean \(U = \{(x, y, z) : x - 2y = 0\}\) y \(W = \{(x, y, z) : y + z = 0\}\). Halle una base y la dimensión de \(U \cap W\).

Resultado Ejercicio 3.5

Resolución mediante parametrización.

Parametrizamos \(U\): \(x = 2t, y=t, z\) libre pero para pertenecer a la intersección debe satisfacer la ecuación de \(W\).
Imponemos \(y + z = 0\) ⇒ \(z = -y = -t\). Entonces los vectores comunes son de la forma

\((2t, t, -t) = t(2,1,-1)\).
Conclusión: \(U \cap W = \text{span}\{(2,1,-1)\}\) y \(\dim(U \cap W)=1\).

Ejercicio 3.6. Suma de Subespacios y Fórmula de las Dimensiones En \(\text{R}^4\), sean \(U = \text{span}\{(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1)\}\) y \(W = \text{span}\{(1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 0)\}\). Calcule \(\text{dim}(U)\), \(\text{dim}(W)\), \(\text{dim}(U \cap W)\) y \(\text{dim}(U + W)\).

Resultado Ejercicio 3.6

Procedimiento.

Calculamos dimensiones individuales: \(\dim(U)=2\) y \(\dim(W)=2\) (cada conjunto está generado por dos vectores, y se verifica independencia).
Para la intersección, buscamos \(a,b\) y \(c,d\) tales que

\(a(1,0,0,1)+b(0,1,0,1)=c(1,1,0,2)+d(0,0,1,0)\).

Igualando coordenadas y resolviendo se obtiene que la intersección está generada por \((1,1,0,2)\); por tanto \(\dim(U\cap W)=1\).
Finalmente \(\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=2+2-1=3\).

4. Espacio cociente

Ejercicio 4.1. Base y Dimensión del Espacio Cociente En \(\text{R}^4\), sea \(U\) el subespacio definido por las ecuaciones cartesianas \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 0\). Describa una base de \(\text{R}^4/U\) y determine su dimensión.

Resultado Ejercicio 4.1

Desarrollo.

El subespacio \(U\) está formado por los vectores cuyo primer y segundo componente son cero: \(U=\{(0,0,x_3,x_4)\}\) y tiene dimensión 2.
El espacio cociente \(\mathbb{R}^4/U\) tiene dimensión \(4-\dim(U)=2\).
Una base natural del cociente la forman las clases laterales (cosets) de los vectores canónicos que distinguen las primeras dos coordenadas:

\([e_1]_U = [(1,0,0,0)]_U,\; [e_2]_U = [(0,1,0,0)]_U\).
Conclusión: \(\{[ (1,0,0,0) ]_U, [ (0,1,0,0) ]_U\}\) es una base de \(\mathbb{R}^4/U\) y \(\dim(\mathbb{R}^4/U)=2\).

5. Problemas integradores

Ejercicio 5.1. Coordenadas, Cambio de Base y Ecuaciones Cartesianas En \(\text{R}^3\), considere las bases: \(B_1 = \{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\}\), \(B_2 = \{(0, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)\}\).

(a) Calcule la matriz de paso \(M\) de \(B_2\) a \(B_1\).
(b) Sea \(x = (3, 2, 1)\). Halle \([x]_{B2}\) y luego \([x]_{B1}\) utilizando la matriz \(M\).
(c) Defina \(W = \text{span}\{(1, 1, 0), (1, 1, 1)\}\) y obtenga las ecuaciones cartesianas de \(W\).

Resultado Ejercicio 5.1

Soluciones y pasos.

(a) Para obtener la matriz de paso de \(B_2\) a \(B_1\) expresamos cada vector de \(B_2\) en coordenadas de \(B_1\). Si en coordenadas canónicas escribimos \(v=(x,y,z)\), las coordenadas en \(B_1\) se obtienen resolviendo

\(v = \alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,1,1)\)

lo que da las fórmulas (resolviendo la triangularidad):

\((\alpha,\beta,\gamma) = (x-y,\; y-z,\; z).\)

Aplicando la fórmula a los vectores de \(B_2\):

• \((0,1,1) \mapsto (-1,0,1)\), • \((0,1,0) \mapsto (-1,1,0)\), • \((1,0,0) \mapsto (1,0,0)\).

Por tanto

\(M = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\)
(b) Para \(x=(3,2,1)\) resolvemos primero en \(B_2\) (expresar \(x\) como combinación de los vectores de \(B_2\)):

Resolvemos \(a(0,1,1)+b(0,1,0)+c(1,0,0)=(3,2,1)\), obteniendo \(c=3\), \(a=1\), \(b=1\). Entonces \([x]_{B2}=(1,1,3)^T\).

Ahora \([x]_{B1} = M\,[x]_{B2} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).
(c) \(W=\text{span}\{(1,1,0),(1,1,1)\}\) tiene como vector normal \((0,0,1)-(0,0,0)\)? Más directo: los dos generadores indican que la restricción es \(x-y=0\) (ambos satisfacen \(x-y=0\)). Por tanto la ecuación cartesiana de \(W\) es \(x-y=0\).

Ejercicio 5.2. Intersección, Suma y Dimensión En \(\text{R}^4\), sean \(U = \{x \in \text{R}^4 : x_1 - x_4 = 0, x_2 + x_3 = 0\}\), \(W = \{x \in \text{R}^4 : x_1 + x_2 + x_3 = 0, x_4 = 0\}\).

(a) Halle una base y la dimensión de \(U \cap W\).
(b) Determine \(\text{dim}(U + W)\) mediante la fórmula de las dimensiones.

Resultado Ejercicio 5.2

Desarrollo.

Parametrizamos \(U\): de \(x_1=x_4\) y \(x_2=-x_3\), tomando \(x_3=s\), \(x_4=t\) obtenemos

\(U = \{(t,-s,s,t) : s,t\in\mathbb{R}\} = \text{span}\{(0,-1,1,0),(1,0,0,1)\}\).
Parametrizamos \(W\): con \(x_4=0\), y tomando \(x_2=u\), \(x_3=v\) se tiene \(x_1 = -u - v\), luego

\(W = \{(-u-v, u, v, 0): u,v\in\mathbb{R}\} = \text{span}\{(-1,1,0,0),(-1,0,1,0)\}\).
Intersección \(U\cap W\): imponemos en \(U\) la condición \(x_4=0 \Rightarrow t=0\), queda \((0,-s,s,0)\) que satisface la ecuación \(x_1+x_2+x_3=0\). Por tanto

\(U\cap W = \text{span}\{(0,-1,1,0)\}\) y \(\dim(U\cap W)=1\).
Finalmente \(\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=2+2-1=3\).

Ejercicio 5.3. Sistema de Generadores y Completar Base Sea \(S = \{u_1, u_2, u_3\} \subset \text{R}^5\) con \(u_1 = (1, 0, 1, 0, 0)\), \(u_2 = (0, 1, 0, 1, 1)\), \(u_3 = (2, -1, 2, -1, -1)\). Determine si \(S\) es L.I. usando el rango de la matriz con filas \(u_i\). Si no es L.I., obtenga una base de \(\text{span}(S)\).

Resultado Ejercicio 5.3

Resolución rápida por combinación lineal.

Observamos que \(u_3 = 2u_1 - u_2\):

\(2(1,0,1,0,0) - (0,1,0,1,1) = (2,-1,2,-1,-1) = u_3\).
Por tanto \(S\) es linealmente dependiente y \(\text{span}(S)=\text{span}\{u_1,u_2\}\). Una base es \(\{u_1,u_2\}\) y el rango es 2.

6. Ejercicios adicionales (Transformaciones y Ortogonalidad)

Ejercicio 6.1. Rango y Núcleo de una Matriz Sea la matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\). Determine \(\text{rg}(A)\) y una base del núcleo \(\text{Ker}(A)\). Verifique el teorema rango-nulidad.

Resultado Ejercicio 6.1

Cálculo por reducción e identificación de parámetros.

Realizando eliminación por filas se comprueba que el rango de \(A\) es 2 (dos filas independientes).
Para \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\) resolvemos \(Ax=0\); de las ecuaciones obtenemos

\(x_1 = -x_2 - x_4,\; x_3 = -x_2 - x_4\) con parámetros \(x_2=s, x_4=t\).
Por tanto

\(x = s(-1,1,-1,0) + t(-1,0,-1,1)\),

y una base del núcleo es \(\{(-1,1,-1,0),\; (-1,0,-1,1)\}\) con \(\dim(\ker A)=2\).
Verificación rango-nulidad: \(\text{rg}(A)+\dim(\ker A)=2+2=4\) que es el número de columnas.

Ejercicio 6.2. Subespacio Ortogonal Sea \(U = \{(x, y, z) \in \text{R}^3 : x - y + z = 0\}\). Determine una base de \(U^\perp\) (el complemento ortogonal de \(U\)).

Resultado Ejercicio 6.2

Observación: la ecuación \(x - y + z = 0\) define un plano cuyo vector normal es \(n=(1,-1,1)\).

Por definición \(U^\perp = \text{span}\{(1,-1,1)\}\).
Conclusión: base de \(U^\perp\) es \(\{(1,-1,1)\}\).

Ejercicio 6.3. Proyección Ortogonal Sea \(u = (1, 2, 2) \in \text{R}^3\) y \(v = (3, 4, 5)\). Calcule la proyección ortogonal de \(u\) sobre la recta generada por \(v\).

Resultado Ejercicio 6.3

Uso de la fórmula de proyección sobre una recta:

\(\text{Proj}_v(u) = \dfrac{u\cdot v}{v\cdot v}\, v.\)

Calculamos \(u\cdot v = 1\cdot3 + 2\cdot4 + 2\cdot5 = 21\), y \(v\cdot v = 3^2+4^2+5^2 = 50\).
Por tanto

\(\text{Proj}_v(u) = \dfrac{21}{50}(3,4,5) = \left(\dfrac{63}{50},\dfrac{84}{50},\dfrac{105}{50}\right)\approx (1.26,1.68,2.10).\)

Ejercicio 6.4. Transformación Lineal y Teorema Rango-Nulidad Sea \(T: \text{R}^3 \to \text{R}^3\) definida por \(T(x, y, z) = (x + y, 2x + 2y, 0)\). Determine \(\text{Im}(T)\), \(\text{Ker}(T)\) y verifique el teorema rango-nulidad.

Resultado Ejercicio 6.4

Análisis.

Imagen: las imágenes tienen la forma \((x+y,2(x+y),0) = (x+y)(1,2,0)\), por tanto

\(\text{Im}(T)=\text{span}\{(1,2,0)\}\) y \(\dim(\text{Im}(T))=1\).
Núcleo: resolvemos \(x+y=0\) y la tercera componente es siempre 0, por tanto \(x=-y\) y \(z\) libre. Entonces

\(\ker(T)=\text{span}\{(1,-1,0),(0,0,1)\}\) y \(\dim(\ker(T))=2\).
Verificación: \(1+2=3\) que coincide con la dimensión del dominio (3).

Ejercicio 6.5. Matriz de una Transformación en Bases No Canónicas Sea \(T: \text{R}^2 \to \text{R}^2\) definida por \(T(x, y) = (x - y, x + y)\).

(a) Halle la matriz de \(T\) en la base canónica \(C\).
(b) Sea \(B = \{(1, 0), (1, 1)\}\). Obtenga la matriz de \(T\) en la base \(B\) (\([T]_B\)).
(c) Compruebe que ambas están relacionadas por \([T]_B = P^{-1}[T]_C P\), donde \(P\) es la matriz de cambio de \(B\) a \(C\).

Resultado Ejercicio 6.5

Cálculos y comprobación.

(a) En la base canónica la matriz es

\([T]_C = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)

porque \(T(e_1)=(1,1)\) y \(T(e_2)=(-1,1)\) son las columnas.
(b) La matriz de cambio \(P\) que lleva coordenadas de \(B\) a la canónica tiene como columnas los vectores de \(B\) en coordenadas canónicas:

\(P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\; P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.\)

Calculamos \([T]_B = P^{-1}[T]_C P\) y obtenemos

\([T]_B = \begin{pmatrix}0 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\)

(comprobación: \([T]_B\) envía \([e_1]_B\) y \([e_2]_B\) a las coordenadas apropiadas en \(B\)).
(c) La relación indicada se cumple por construcción (ver multiplicaciones mostradas).