Subespacios (param./cart.)

3. Subespacios, ecuaciones paramétricas y cartesianas

3.1. Subespacios y formas de describirlos

Sea \(V\) un espacio vectorial (por ejemplo \(\mathbb{R}^n\)). Un subconjunto \(U\subseteq V\) es un subespacio si es no vacío y está cerrado bajo suma y multiplicación por escalares. Equivalentes prácticas:

• Comprobación por generadores (paramétrica): existen vectores \(u_1,\dots,u_k\) tales que $\(U=\mathrm{span}\{u_1,\dots,u_k\} = \{A\,t:\ t\in\mathbb{K}^k\},\)$ donde \(A\) es la matriz cuyas columnas son \(u_1,\dots,u_k\) y \(t\) es el vector columna de parámetros.
• Descripción por ecuaciones (cartesiana): existe una matriz \(B\) tal que $\(U=\{x\in V:\ Bx=0\}\)$ (sistema homogéneo de ecuaciones lineales).

Ambas descripciones son equivalentes: cualquier subespacio puede describirse por parámetros (generadores) y por ecuaciones homogéneas.

Relación entre dimensiones: si \(V\) tiene dimensión \(n\) y \(U\) dimensión \(r\), entonces el número de ecuaciones (independientes) necesarias en la forma cartesiana es \(n-r\).

3.2. De paramétricas a cartesianas (procedimiento)

Supongamos que tenemos \(U=\mathrm{span}\{u_1,\dots,u_k\}\) con \(u_i\in\mathbb{R}^n\) y queremos ecuaciones del tipo \(Bx=0\) que describan \(U\).

1. Formar la matriz \(A=[u_1\ \cdots\ u_k]\) (tamaño \(n\times k\)).
2. Encontrar un sistema de ecuaciones lineales independientes que anulen exactamente a las columnas de \(A\). Formalmente, buscar una matriz \(B\) (de tamaño \((n-r)\times n\)) tal que \(B A=0\) y las filas de \(B\) sean independientes.
3. En la práctica se calcula el complemento ortogonal: una base de \(\{x:\ A^T x=0\}\) (o resolver \(A^T x=0\)). Las soluciones forman las filas de \(B\).

Ejemplo paso a paso (R^3):

Sea \(U=\mathrm{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3\). Queremos las ecuaciones cartesianas.

1. Escribimos $$ A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix} $$
2. Buscamos \(x=(x_1,x_2,x_3)^T\) que sea ortogonal a todas las columnas de \(A\), i.e. resolver \(A^T x=0\): $$ \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$
3. Esto da el sistema $$ \begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0. \end{cases} $$ De donde \(x_1=-x_3,\ x_2=-x_3\). Tomando \(x_3=1\) obtenemos una ecuación independiente: \(x_1+x_3=0\) y \(x_2+x_3=0\). Podemos escribir en forma matricial \(B=[\begin{smallmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{smallmatrix}]\) y la condición \(Bx=0\) describe \(U\).

Observación: a veces se prefieren combinaciones de filas para obtener ecuaciones más sencillas; lo esencial es que las ecuaciones sean independientes y describan el mismo espacio.

3.3. De cartesianas a paramétricas (procedimiento)

Dada una descripción \(U=\{x\in\mathbb{R}^n:\ Bx=0\}\) con \(B\) de tamaño \(m\times n\), resolvemos el sistema homogéneo y expresamos las variables libres como parámetros:

1. Aplicar eliminación gaussiana a la matriz aumentada \([B|0]\).
2. Expresar las soluciones en función de parámetros \(t_1,\dots,t_k\); las soluciones se escriben como combinación lineal de vectores que forman una base de \(U\).

Ejemplo (R^3): sea \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\) y resolvemos \(Bx=0\):

1. Sistema: $$ \begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0. \end{cases} $$
2. Tomamos \(t=x_3\) como parámetro. Entonces \(x_1=-t,\ x_2=-t,\ x_3=t\). Escribiendo en forma paramétrica: $$ x=t(-1,-1,1)^T $$
3. Por tanto una base de \(U\) es \(\{(-1,-1,1)\}\) (observa que originalmente el span tenía dos generadores; la reducción muestra que el espacio es de dimensión 1 si las columnas eran dependientes — este ejemplo ilustra el procedimiento; en ejemplos genéricos obtendremos la base con todos los parámetros necesarios).

3.4. Operaciones con subespacios

Intersección \(U\cap W\):

1. Si \(U=\{x:\ B_U x=0\}\) y \(W=\{x:\ B_W x=0\}\), entonces $$ U\cap W={x:\ \begin{pmatrix}B_U\\B_W\end{pmatrix}x=0} $$ es decir, las ecuaciones que definen la intersección son todas las ecuaciones de \(U\) y de \(W\) juntas.

Ejemplo: si \(B_U\) y \(B_W\) son las matrices de ecuaciones, concatena filas y resuelve el homogéneo resultante.

Suma \(U+W\):

1. Si \(U=\mathrm{span}\{u_1,\dots,u_r\}\) y \(W=\mathrm{span}\{w_1,\dots,w_s\}\) entonces $$ U+W=\mathrm{span}{u_1,\dots,u_r,w_1,\dots,w_s} $$
2. Para obtener una base de \(U+W\) forme la matriz con columnas los \(u_i\) y \(w_j\), reduzca por columnas y seleccione las columnas pivote.

Fórmula dimensión:

\[ \dim(U)+\dim(W)=\dim(U\cap W)+\dim(U+W). \]

Suma directa \(U\oplus W\):

Se dice que \(V=U\oplus W\) si cada \(v\in V\) se escribe de forma única como \(v=u+w\) con \(u\in U,\ w\in W\). Equivalente y práctica: \(U\cap W=\{0\}\) y \(\dim(U)+\dim(W)=\dim(U+W)\).

Cómo comprobar si la suma es directa (procedimiento): formar la matriz con columnas las bases de \(U\) y \(W\) y comprobar si las columnas son linealmente independientes.

3.5. Ejercicios resueltos (paso a paso)

Ejercicio 1. Hallar ecuaciones cartesianas y una base para \(U=\mathrm{span}\{(1,2,0),(2,4,0),(0,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3\).

Solución:

1. Formamos la matriz con columnas los generadores: $$ A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\0&0&1\end{pmatrix}. $$
2. Observamos dependencia: la segunda columna es 2 veces la primera en las dos primeras filas; aplicar reducción de columnas (o filas) muestra que una base del span es \(\{(1,2,0),(0,1,1)\}\).
3. Para obtener ecuaciones cartesianas buscamos el complemento ortogonal resolviendo \(A^T x=0\): $$ \begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0 $$ (aplicar pasos de eliminación para obtener las ecuaciones independientes). El resultado muestra las ecuaciones que deben satisfacer los vectores de \(U\).

Ejercicio 2. Dadas las ecuaciones \(x_1+x_3=0\), \(x_2+x_3=0\), encontrar la forma paramétrica y una base.

Solución: ya resuelto anteriormente: \(x=t(-1,-1,1)^T\) y base \(\{(-1,-1,1)\}\).

3.6. Resumen y tabla de fórmulas

Resumen escueto:

• Un subespacio puede describirse por generadores (paramétrico) o por ecuaciones homogéneas (cartesiano).
• Para pasar de paramétricas a cartesianas calculamos el complemento ortogonal (resolver \(A^T x=0\)).
• Para pasar de cartesianas a paramétricas resolvemos el homogéneo \(Bx=0\) y expresamos en parámetros.
• Operaciones: intersección (concatenar ecuaciones), suma (unir generadores y reducir), suma directa (comprobar independencia).

Tabla de fórmulas:

Término	Fórmula	Mini descripción
Paramétricas	\(U=\mathrm{span}\{u_1,\dots,u_k\}\)	Descripción por generadores y parámetros.
Cartesianas	\(U=\{x:\ Bx=0\}\)	Descripción por ecuaciones homogéneas.
Complemento ortogonal	\(\{x:\ A^T x=0\}\)	Ecuaciones que anulan las columnas de \(A\).
Intersección	\(U\cap W=\{x:\ \begin{pmatrix}B_U\\B_W\end{pmatrix}x=0\}\)	Concatenar ecuaciones de \(U\) y \(W\).
Suma	\(U+W=\mathrm{span}\{u_i,w_j\}\)	Generadores unidos y reducidos a base.
Fórmula dimensión	\(\dim(U)+\dim(W)=\dim(U\cap W)+\dim(U+W)\)	Relación entre dimensiones.