📍 Coordenadas y Cambio de Base

Objetivo

Comprender cómo representar vectores mediante coordenadas respecto a una base y cómo cambiar entre bases diferentes. Esto nos permite trabajar en espacios abstractos como si fueran \(\mathbb{R}^n\).

Definiciones Clave

Coordenadas

Dado un vector \(\mathbf{x}\) y una base \(B = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}\), las coordenadas son los únicos escalares \(x_1, \dots, x_n\) tales que:

\[ \mathbf{x} = x_1 \mathbf{b}_1 + \dots + x_n \mathbf{b}_n \]

Se representan como una matriz columna \(\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\).

Matriz de Cambio de Base

La matriz de cambio de base \(P\) transforma coordenadas de la base \(B_2\) a \(B_1\). Sus columnas son los vectores de \(B_2\) expresados en \(B_1\).

La relación es:

\[ \mathbf{x}_{B_1} = P \mathbf{x}_{B_2} \]

Ejemplos

Ejemplo 1: Coordenadas en Bases Diferentes

Comparar coordenadas de \(\mathbf{x} = (2,3,1)\) en \(\mathbb{R}^3\) respecto a la base canónica y \(B' = \{(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0)\}\).

Base canónica: \(\mathbf{x} = 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3\), coordenadas \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Base \(B'\): Resolver \(\mathbf{x} = a(1,0,1) + b(0,1,1) + c(1,1,0)\):

\[ \begin{cases} a + c = 2 \\ b + c = 3 \\ a + b = 1 \end{cases} \]

Solución: \(a=1\), \(b=0\), \(c=1\). Coordenadas \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Ejemplo 2: Matriz de Cambio de Base

Calcular la matriz de paso entre \(B_1 = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}\) y \(B_2 = \{(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\}\).

Expresar vectores de \(B_2\) en \(B_1\): \((1,1,0) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2\), etc. Matriz \(P\) con columnas esas coordenadas.

Ejemplo 3: Transformar Coordenadas

Expresar \(\mathbf{v} = (4,2,3)\) en base \(B = \{(1,0,1), (0,1,0), (0,0,1)\}\).

Resolver \(4 = a + c\), \(2 = b\), \(3 = a\). Solución: \(a=3, b=2, c=1\).

Ejercicios

Ejercicio 1: Coordenadas en Base Canónica

Encuentra las coordenadas de \(\mathbf{u} = (5, -1, 2)\) en la base canónica de \(\mathbb{R}^3\).

Solución Ejercicio 1

En la base canónica, las coordenadas son simplemente las componentes del vector: \(\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Dado \(B = \{(1,1,0), (0,1,1)\}\), expresa \(\mathbf{w} = (2,3,1)\) en \(B\).

Solución Ejercicio 2

Resolver a(1,1,0) + b(0,1,1) = (2,3,1).

Sistema: a = 2, a + b = 3 ⇒ b=1, b =1.

Coordenadas: (2,1).

Ejercicio 3: Matriz de Cambio

Calcula la matriz \(P\) de \(B_1\) canónica a \(B_2 = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}\) (misma).

Solución Ejercicio 3

Si B2 es la base canónica, entonces P es la matriz identidad, ya que no hay cambio de base.

Ejercicio 4: Transformación

Si \(\mathbf{x}_{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), encuentra \(\mathbf{x}\) en canónica para \(B = \{(1,0), (0,1)\}\).

Solución Ejercicio 4

x = 1(1,0) + 2(0,1) = (1,2).

Ejercicio 5: Coordenadas Complejas

En \(\mathbb{R}^2\), base \(B = \{(1,1), (1,-1)\}\), coordenadas de \((3,1)\).

Solución Ejercicio 5

Sistema: a(1,1) + b(1,-1) = (3,1).

Ecuaciones: a + b = 3, a - b = 1.

Suma: 2a = 4 ⇒ a=2, resta: 2b=2 ⇒ b=1.