➗ Espacio Cociente
Objetivo
Introducir el concepto de espacio cociente, que surge de dividir un espacio vectorial por un subespacio. Es útil en álgebra lineal avanzada y teoría de módulos.
Definiciones Clave
Relación de Equivalencia
En \(V\) con subespacio \(U\), definimos \(\mathbf{v} \sim \mathbf{w} \iff \mathbf{v} - \mathbf{w} \in U\).
Clase de Equivalencia
La clase de \(\mathbf{v}\) es \(\mathbf{v} + U = \{\mathbf{v} + \mathbf{u} \mid \mathbf{u} \in U\}\).
:division: Espacio Cociente
El espacio cociente \(V/U\) es el conjunto de clases de equivalencia. Tiene estructura de espacio vectorial con dimensión \(\dim(V) - \dim(U)\).
Nota
La base de \(V/U\) se puede obtener de una base del complemento de \(U\).
Ejemplos
Ejemplo 1: Base y Dimensión
Para \(U = \{ (x,y,z) \mid z=0 \} \subseteq \mathbb{R}^3\), base de \(\mathbb{R}^3 / U\).
\(U\) dimensión 2, \(\dim(\mathbb{R}^3 / U) = 1\).
Base: clase de \((0,0,1)\).
Ejemplo 2: Identificación
La base es la clase del vector del complemento.
Ejercicios
Ejercicio 1: Relación de Equivalencia
En \(\mathbb{R}^2\) con \(U = \{(x,0)\}\), ¿son equivalentes \((1,1)\) y \((1,2)\)?
Solución Ejercicio 1
\((1,1) - (1,2) = (0,-1) \notin U\), no.
Ejercicio 2: Clase de Equivalencia
Clase de \((2,3,1)\) en \(U: x=0\).
Solución Ejercicio 2
La clase de v es v + U = {v + u | u ∈ U}.
U: x=0, u=(0,y,z).
Clase: (2+x, 3+y, 1+z), representada como (2,3,1) + (x,0,0).
\(\dim(\mathbb{R}^4 / U)\) si \(\dim(U)=2\).
Solución Ejercicio 3
\(\dim(\mathbb{R}^4 / U) = \dim(\mathbb{R}^4) - \dim(U) = 4 - 2 = 2\).
Ejercicio 4: Base del Cociente
Base para \(\mathbb{R}^3 / \{(0,0,z)\}\).
Solución Ejercicio 4
U = {(0,0,z) | z ∈ ℝ}, dim(U)=1.
Base del cociente: clases de (1,0,0) y (0,1,0), ya que generan el complemento.
Ejercicio 5: Operaciones en Cociente
Suma de clases en \(\mathbb{R}^2 / \{(x,0)\}\).
Solución Ejercicio 5
La suma de clases es \((a,b) + U + (c,d) + U = (a+c, b+d) + U\), ya que U es subespacio.