🏗️ Espacios Vectoriales y Bases
Objetivo
Entender los fundamentos de los espacios vectoriales, incluyendo conceptos como dependencia e independencia lineal, sistemas de generadores, bases y dimensión. Vamos a explorar estos conceptos con ejemplos prácticos para consolidar el aprendizaje.
Definiciones Clave
Espacio Vectorial
Un espacio vectorial \(V\) sobre un cuerpo \(K\) (como \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)) es un conjunto no vacío que cumple con dos operaciones:
- Operación interna (suma): Forma un grupo abeliano.
- Operación externa (producto por escalar): Compatible con la suma y el producto en \(K\).
Los elementos de \(V\) se llaman vectores y los de \(K\), escalares.
Nota
El espacio trivial es aquel que contiene solo el vector neutro (vector cero).
Combinación Lineal
Una combinación lineal de vectores \(v_1, \dots, v_n\) es cualquier vector de la forma:
donde \(a_i \in K\).
Dependencia e Independencia Lineal
-
Dependencia Lineal (L.D.): Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existe una combinación lineal no trivial (no todos \(a_i = 0\)) que da el vector cero. Equivale a que al menos uno se expresa como combinación de los demás.
-
Independencia Lineal (L.I.): Un conjunto es linealmente independiente si la única combinación lineal que da cero es la trivial (todos \(a_i = 0\)).
Sistema de Generadores
Un conjunto \(S\) es un sistema de generadores si cualquier vector de \(V\) se puede escribir como combinación lineal de elementos de \(S\).
Base
Una base \(B\) es un conjunto que es simultáneamente linealmente independiente y sistema de generadores.
:ruler: Dimensión
La dimensión \(\dim(V)\) es el número de vectores en cualquier base de \(V\). Todas las bases tienen el mismo tamaño.
✨ Base Canónica
En \(K^n\), la base canónica es \(\{e_1 = (1,0,\dots,0), e_2 = (0,1,\dots,0), \dots\}\).
Ejemplos
Ejemplo 1: Espacio de Polinomios \(P_2\)
Ejercicio 1.1: Comprobar que \(P_2\) (polinomios de grado \(\leq 2\)) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), indicando su base canónica y dimensión.
Solución:
- Suma: \((a + bx + cx^2) + (d + ex + fx^2) = (a+d) + (b+e)x + (c+f)x^2 \in P_2\).
- Producto por escalar: \(\lambda (a + bx + cx^2) = \lambda a + (\lambda b)x + (\lambda c)x^2 \in P_2\).
- Cumple propiedades de grupo abeliano y compatibilidad.
Base canónica: \(\{1, x, x^2\}\), dimensión 3.
Ejemplo 2: Independencia Lineal en \(\mathbb{R}^3\)
Consideremos los vectores \(\mathbf{u} = (1,2,3)\), \(\mathbf{v} = (4,5,6)\), \(\mathbf{w} = (7,8,9)\).
Para comprobar L.I., resolvemos \(a\mathbf{u} + b\mathbf{v} + c\mathbf{w} = \mathbf{0}\):
El determinante de la matriz es 0 (vectores L.D.), así que son dependientes.
Ejemplo 3: Análisis de Dependencia
Plantear \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) y estudiar el rango. Si rango < número de vectores, L.D.
Ejercicios
Practica con estos ejercicios para afianzar los conceptos.
Ejercicio 1: Verificar Espacio Vectorial
Comprueba si el conjunto de matrices \(2\times2\) simétricas sobre \(\mathbb{R}\) es un espacio vectorial. Indica su dimensión y una base.
Solución Ejercicio 1
Para que un conjunto sea un espacio vectorial, debe satisfacer las propiedades de grupo abeliano para la suma, distributividad, etc.
Cerrado bajo suma: Si \(A, B\) simétricas, \(A + B\) tiene \((a+b)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\), y por simetría, \((A+B)_{ji} = (A+B)_{ij}\).
Cerrado bajo escalar: \(\lambda A\) mantiene simetría.
Elemento neutro: Matriz cero.
Inverso: \(-A\).
Dimensión: 3 parámetros independientes (a11, a12, a22).
Base: Matrices con un 1 en posiciones simétricas y 0 en otras.
Expresa \(\mathbf{v} = (1,1,2)\) como combinación lineal de \(\mathbf{u}_1 = (1,0,1)\), \(\mathbf{u}_2 = (0,1,1)\).
Solución Ejercicio 2
Sistema: \(a \cdot 1 + b \cdot 0 = 1 \implies a = 1\)
\(a \cdot 0 + b \cdot 1 = 1 \implies b = 1\)
\(a \cdot 1 + b \cdot 1 = 2 \implies 1 + 1 = 2\), consistente.
Coeficientes: \(a=1, b=1\).
Verificación: \(1 \cdot (1,0,1) + 1 \cdot (0,1,1) = (1,1,2)\).
Ejercicio 3: Independencia Lineal
Determina si \(\{(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\}\) es L.I. en \(\mathbb{R}^3\).
Solución Ejercicio 3
Formamos la matriz \(A\) con columnas los vectores:
Calculamos det(A) = 1(11 - 01) - 0(11 - 00) + 1(11 - 1*0) = 1 + 1 = 2 ≠ 0.
Por el teorema: si det ≠ 0, los vectores son L.I.
Ejercicio 4: Base y Dimensión
Encuentra una base para el subespacio generado por \(\{(1,2,3), (4,5,6)\}\).
Solución Ejercicio 4
L(S) es generado por v1=(1,2,3), v2=(4,5,6).
Verificamos L.I.: matriz [v1 v2], rango 2 (filas no proporcionales).
Base: {v1, v2}, dimensión 2.
Ejercicio 5: Base Canónica
¿Cuál es la base canónica de \(\mathbb{R}^4\)? ¿Su dimensión?
Solución Ejercicio 5
La base canónica de \(\mathbb{R}^n\) es el conjunto estándar {e1, ..., en}, donde ei = (0,...,1,...,0) con 1 en posición i.
Para n=4: dimensión 4, base de 4 vectores.