Saltar a contenido

Resumen Visual — UD2: Espacios Vectoriales y Subespacios

🎯 Objetivo de la Unidad

Comprender la estructura de los espacios vectoriales, bases, dimensión, subespacios y sus operaciones, así como cambios de base y espacios cociente.

📊 Mapa Conceptual

graph LR

    B --> B1[8 Axiomas]
    B --> B2[Cuerpo Base K]

    C --> C1[Verificación]
    C --> C2[Operaciones]
    C --> C3[Generadores]

    C1 --> C1A[Contiene 0]
    C1 --> C1B[Cerrado suma]
    C1 --> C1C[Cerrado producto]

    C2 --> C2A[Intersección]
    C2 --> C2B[Suma]
    C2 --> C2C[Suma Directa]

    D --> D1[Base]
    D --> D2[Dimensión]
    D --> D3[Coordenadas]
    D --> D4[Cambio de Base]

    A --> E[Espacio Cociente]
    E --> E1[Clases de Equivalencia]
    E --> E2[dim V/U = dim V - dim U]

📐 Conceptos Fundamentales

Espacio Vectorial

Un conjunto \(V\) con operaciones \(+\) y \(\cdot\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\) si cumple 8 axiomas:

Axioma Propiedad Ejemplo en \(\mathbb{R}^n\)
A1 Asociatividad suma \((u+v)+w = u+(v+w)\)
A2 Conmutatividad suma \(u+v = v+u\)
A3 Elemento neutro \(\exists 0: v+0=v\)
A4 Inverso aditivo \(\exists -v: v+(-v)=0\)
M1 Asociatividad producto \(\alpha(\beta v) = (\alpha\beta)v\)
M2 Elemento neutro \(1 \cdot v = v\)
D1 Distributiva 1 \(\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v\)
D2 Distributiva 2 \((\alpha+\beta)v = \alpha v + \beta v\)

🔍 Verificación de Subespacios

graph TD
    A{¿Es U subespacio de V?} --> B[Paso 1: ¿0 ∈ U?]
    B -->|No| Z[NO es subespacio]
    B -->|Sí| C[Paso 2: ¿u,v ∈ U → u+v ∈ U?]
    C -->|No| Z
    C -->|Sí| D[Paso 3: ¿u ∈ U, α ∈ K → αu ∈ U?]
    D -->|No| Z
    D -->|Sí| E[✅ SÍ es subespacio]

    style Z fill:#ffe1e1
    style E fill:#e1ffe1

Método Alternativo (Combinación Lineal)

U es subespacio ⟺ \(\forall u,v \in U, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}: \alpha u + \beta v \in U\)

🔄 Operaciones con Subespacios

Intersección

\[ U \cap W = \{v \in V : v \in U \text{ y } v \in W\} \]

Método: Resolver sistema de ecuaciones cartesianas simultáneas.

Suma

\[ U + W = \{u + w : u \in U, w \in W\} \]

Método: Base de \(U+W\) = base obtenida de vectores generadores de \(U\) y \(W\) (reducir y extraer linealmente independientes).

Suma Directa

\[ V = U \oplus W \iff \begin{cases} V = U + W \\ U \cap W = \{0\} \end{cases} \]

✨ Fórmula de las Dimensiones

\[ \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W) \]

📏 Bases y Dimensión

Base

Un conjunto \(B = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) es base de \(V\) si:

  1. \(B\) es linealmente independiente
  2. \(B\) genera \(V\): todo vector de \(V\) se expresa como combinación lineal de \(B\)

Dimensión

\[ \dim(V) = \text{número de vectores en cualquier base de } V \]

Propiedades:

  • Todo espacio vectorial tiene infinitas bases
  • Todas las bases tienen el mismo número de elementos
  • \(\dim(\mathbb{R}^n) = n\)

🔀 Cambio de Base

graph LR
    A[Coordenadas en B] -->|Matriz P| B[Coordenadas en B']
    B -->|Matriz P⁻¹| A

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1

Matriz de Cambio de Base

\[ P_{B \to B'} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [\mathbf{v}_1]_{B'} & [\mathbf{v}_2]_{B'} & \cdots & [\mathbf{v}_n]_{B'} \\ | & | & & | \end{pmatrix} \]

donde \(B = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\)

Fórmula:

\[ [\mathbf{v}]_{B'} = P_{B \to B'} [\mathbf{v}]_B \]

🎭 Espacio Cociente

Definición

Dado subespacio \(U \subseteq V\), el espacio cociente es:

\[ V/U = \{v + U : v \in V\} \]

donde \(v + U = \{v + u : u \in U\}\) es la clase de equivalencia.

Relación de Equivalencia

\[ v \sim w \iff v - w \in U \]

Dimensión

\[ \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U) \]

🌳 Árbol de Decisión: Representación de Subespacios

graph TD
    A{¿Cómo está dado el subespacio?} --> B[Generadores]
    A --> C[Ecuaciones]

    B --> B1[Ya tengo vectores]
    B --> B2[Necesito ecuaciones cartesianas]
    B2 --> B2A[Completar a base de V<br/>Resolver sistema]

    C --> C1[Ya tengo ecuaciones]
    C --> C2[Necesito base]
    C2 --> C2A[Resolver sistema homogéneo<br/>Expresar en forma paramétrica]

    style B1 fill:#e1ffe1
    style C1 fill:#e1ffe1
    style B2A fill:#fff5e1
    style C2A fill:#fff5e1

📊 Tabla Resumen: Tipos de Subespacios en \(\mathbb{R}^3\)

dim(U) Nombre Ejemplo Ecuaciones
0 Origen \(\{(0,0,0)\}\) \(x=0, y=0, z=0\)
1 Recta \(L\{(1,0,1)\}\) \(x=z, y=0\) (2 ecuaciones)
2 Plano \(x+y+z=0\) 1 ecuación
3 Todo \(\mathbb{R}^3\) \(\mathbb{R}^3\) sin restricciones

✅ Checklist de Ejercicios

Para verificar si U es subespacio:

  • [ ] ¿El vector nulo pertenece a U?
  • [ ] ¿Dados dos vectores cualesquiera su suma está en U?
  • [ ] ¿Multiplicar por escalar mantiene el vector en U?

Para hallar intersección:

  • [ ] ¿He planteado el sistema con todas las ecuaciones?
  • [ ] ¿He resuelto correctamente por Gauss?
  • [ ] ¿He expresado la solución en forma paramétrica?

Para hallar suma:

  • [ ] ¿He juntado los generadores de ambos subespacios?
  • [ ] ¿He eliminado vectores redundantes (dependientes)?
  • [ ] ¿He verificado la dimensión con la fórmula?

💡 Errores Comunes

⚠️ Cuidado

  • No todo subconjunto es subespacio: debe cumplir las 3 condiciones
  • Recta que no pasa por el origen NO es subespacio
  • dim(U ∩ W) ≠ 0 en general: solo si U y W son complementarios
  • Cambio de base: confundir \(P\) con \(P^{-1}\)
  • Espacio cociente: olvidar que dim(V/U) + dim(U) = dim(V)

🔗 Enlaces Relacionados