🔧 Subespacios y Operaciones
Objetivo
Explorar subespacios vectoriales, sus representaciones (paramétricas y cartesianas) y operaciones como intersección, suma y suma directa. Estos conceptos son esenciales para entender estructuras dentro de espacios vectoriales.
Definiciones Clave
Subespacio Vectorial
Un subconjunto \(U \subseteq V\) es un subespacio vectorial si es cerrado bajo suma y producto por escalar. Es un espacio vectorial en sí mismo.
Subespacio Generado
El subespacio generado por \(S\), denotado \(L(S)\), es el conjunto de todas las combinaciones lineales de \(S\). Es el subespacio más pequeño que contiene \(S\).
Ecuaciones Paramétricas
Expresan vectores de un subespacio como:
donde \(t_i\) son parámetros.
Ecuaciones Cartesianas
Un sistema homogéneo \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\). El número de ecuaciones independientes es \(\dim(V) - \dim(U)\).
∩ Intersección
La intersección de dos subespacios \(U\) y \(W\), denotada \(U \cap W\), es el conjunto de todos los vectores que pertenecen a ambos subespacios simultáneamente:
Cómo calcularla:
- Si ambos subespacios están dados por ecuaciones cartesianas, resuelve el sistema formado por la unión de las ecuaciones de ambos.
- Si están en forma paramétrica, encuentra vectores que satisfagan ambas parametrizaciones.
- La intersección siempre existe y es un subespacio vectorial.
- Si \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\), decimos que son subespacios disjuntos (excepto en el origen).
Ejemplo rápido:
En \(\mathbb{R}^3\), \(U: x+y=0\), \(W: y+z=0\).
Sistema: \(x+y=0\), \(y+z=0\). De la segunda, \(z=-y\), primera \(x-y=0 \Rightarrow x=y\).
Así, \(U \cap W = \{(y,y,-y) \mid y \in \mathbb{R}\}\), generado por \((1,1,-1)\).
Suma
La suma de dos subespacios \(U\) y \(W\), denotada \(U + W\), es el conjunto de todas las sumas posibles de un vector de \(U\) y uno de \(W\):
Cómo calcularla:
- Es el subespacio generado por la unión de una base de \(U\) y una base de \(W\).
- Para ecuaciones cartesianas, resuelve el sistema sin ecuaciones (solo variables libres).
- Siempre contiene a \(U\) y \(W\), y es el subespacio más pequeño que los contiene ambos.
Ejemplo rápido:
\(U = L\{(1,0,0)\}\), \(W = L\{(0,1,0)\}\) en \(\mathbb{R}^3\).
\(U + W = L\{(1,0,0), (0,1,0)\} = \mathbb{R}^2 \times \{0\}\).
⊕ Suma Directa
La suma directa \(U \oplus W\) se define cuando \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\). En este caso, cada vector en \(U + W\) se puede escribir de manera única como \(\mathbf{u} + \mathbf{w}\) con \(\mathbf{u} \in U\), \(\mathbf{w} \in W\).
Cómo verificar:
- Calcula \(U \cap W\) y comprueba si es solo el vector cero.
- Alternativamente, verifica que \(\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W)\).
Propiedad: Si \(U \oplus W\), entonces \(\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W)\).
Ejemplo rápido: \(U = L\{(1,0)\}\), \(W = L\{(0,1)\}\) en \(\mathbb{R}^2\). \(U \cap W = \{0\}\), sí suma directa.
∁ Espacio Complementario
Un complementario de \(U\) en \(V\) es un subespacio \(W \subseteq V\) tal que \(U \oplus W = V\), es decir, \(U + W = V\) y \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\).
Cómo encontrar uno:
- Extiende una base de \(U\) a una base de \(V\).
- El complementario está generado por los vectores añadidos.
- Siempre existe un complementario, y su dimensión es \(\dim(V) - \dim(U)\).
Ejemplo rápido: En \(\mathbb{R}^3\), \(U: z=0\) (plano xy). Complementario: \(W = L\{(0,0,1)\}\) (eje z).
✨ Fórmula de las Dimensiones
\(\dim(U) + \dim(W) = \dim(U \cap W) + \dim(U + W)\)
Ejemplos
Ejemplo 1: Verificar Subespacio
¿Es una recta que no pasa por el origen un subespacio de \(\mathbb{R}^3\)?
No, porque no contiene el cero (no cerrado bajo suma).
Ejemplo 2: Ecuaciones Cartesianas
Obtener cartesianas de \(\mathbf{x} = (1,0,1,0) + t(0,1,0,1) + s(0,0,1,1)\) en \(\mathbb{R}^4\).
Sistema: \(x_1=1\), \(x_2=t\), \(x_3=1+s\), \(x_4=t+s\).
Variables libres \(t,s\), ecuaciones \(x_1-1=0\), \(x_3-x_4 +1=0\).
Ejemplo 3: Intersección Detallada
Calcula \(U \cap W\) donde \(U: x + y + z = 0\), \(W: x - y = 0\) en \(\mathbb{R}^3\).
Paso 1: Sistema conjunto: \(x + y + z = 0\), \(x - y = 0\).
Paso 2: De segunda ecuación: \(x = y\).
Paso 3: Sustituir: \(y + y + z = 0 \Rightarrow 2y + z = 0 \Rightarrow z = -2y\).
Paso 4: Vectores: \((y, y, -2y) = y(1,1,-2)\).
Resultado: \(U \cap W = L\{(1,1,-2)\}\), dimensión 1.
Ejemplo 4: Suma de Subespacios
\(U = L\{(1,0,1)\}\), \(W = L\{(0,1,1)\}\) en \(\mathbb{R}^3\).
Paso 1: Base de \(U + W\): \((1,0,1)\), \((0,1,1)\).
Paso 2: Verificar independencia: determinante de \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \neq 0\), sí independiente.
Resultado: \(\dim(U + W) = 2\).
Ejemplo 5: Suma Directa
Verifica si \(U \oplus W\) para \(U: x=0\), \(W: y=0\) en \(\mathbb{R}^3\).
Paso 1: \(U \cap W\): \(x=0\), \(y=0\), así \((0,y,z)\) con \(y=0\), \((0,0,z)\) con \(z=0\), intersección \(\{0\}\).
Paso 2: \(\dim(U)=2\), \(\dim(W)=2\), \(\dim(U+W)=3\), \(\dim(U)+\dim(W)=4 > 3\), no suma directa.
Ejemplo 6: Espacio Complementario
Encuentra complementario de \(U: x + y = 0\) en \(\mathbb{R}^3\).
Paso 1: Base de \(U\): \((1,-1,0)\), \((0,0,1)\).
Paso 2: Extender a base de \(\mathbb{R}^3\): añadir \((1,0,0)\).
Paso 3: Complementario \(W = L\{(1,0,0)\}\).
Verificación: \(U + W = \mathbb{R}^3\), \(U \cap W = \{0\}\).
Ejemplo 7: Fórmula de Dimensiones
\(\dim(U)=2\), \(\dim(W)=3\), \(\dim(U \cap W)=1\).
\(\dim(U + W) = 2 + 3 - 1 = 4\).
Ejercicios
Ejercicio 1: Subespacio Generado
Encuentra el subespacio generado por \(\{(1,0,1), (0,1,1)\}\) en \(\mathbb{R}^3\).
Solución Ejercicio 1
L(S) = {a(1,0,1) + b(0,1,1)} = (a, b, a+b).
Ecuaciones: x = a, y = b, z = a + b ⇒ z - x = b - b = 0 ⇒ z = x.
Dimensión 2.
Ejercicio 2: Intersección
Intersección de \(U: x+y=0\) y \(W: y+z=0\) en \(\mathbb{R}^3\).
Solución Ejercicio 2
U ∩ W: resolver x+y=0, y+z=0.
De primera x=-y, segunda -y + z =0 ⇒ z=y.
x=-y, y=y, z=y. Generado por (-1,1,1), dim 1.
Ejercicio 3: Suma Directa
¿Es \(U \oplus W\) si \(\dim(U)=1\), \(\dim(W)=2\), \(\dim(V)=3\), \(\dim(U \cap W)=0\)?
Solución Ejercicio 3
Suma directa si U ∩ W = {0}. Aquí dim(U+W) = dim(U) + dim(W) = 3 = dim(V), y dim(U∩W)=0, sí.
Ejercicio 4: Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones paramétricas para \(x+2y-z=0\), \(y+z=0\).
Solución Ejercicio 4
Sistema: x + 2y - z = 0, y + z = 0.
De segunda: z = -y.
Primera: x + 2y - (-y) = 0 ⇒ x + 3y = 0 ⇒ x = -3y.
Parámetros: y=t, x=-3t, z=-t. Base: (-3,1,-1).
Ejercicio 5: Complementario
Encuentra un complementario para \(U: z=0\) en \(\mathbb{R}^3\).
Solución Ejercicio 5
U: z=0, dim 2. Complementario W con dim 1, U ∩ W = {0}.
Ejemplo: W generado por (1,0,0), ecuaciones x=0.