Anulador de un Subespacio
Definimos el anulador de un subespacio y mostramos cómo calcularlo y qué relación dimensional mantiene con el subespacio original.
Definición
Para \(W\subseteq V\), el anulador es
Cálculo práctico
- Escribir una forma genérica \(f\) con coeficientes desconocidos.
- Imponer \(f(w_i)=0\) para los generadores \(w_i\) de \(W\).
- Resolver el sistema y obtener una base de \(W^{0}\).
Ejercicios
Ejercicio 1
En \(\mathbb{R}^3\), sea \(W=\mathrm{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}\). Calcular \(W^{0}\).
Solución
Sea \(f(x,y,z)=ax+by+cz\).
Impongamos \(f(1,0,1)=a+c=0\) y \(f(0,1,1)=b+c=0\).
De ahí \(a=-c, b=-c\), y los coeficientes son \(c(-1,-1,1)\).
Por tanto
Ejercicio 2
Si \(\dim V=5\) y \(\dim W=3\), ¿qué dimensión tiene \(W^{0}\)?
Solución
\(\dim W^{0}=\dim V - \dim W = 5 - 3 = 2\).
Ejercicio 3
Demostrar que \(W^{0}\) es un subespacio de \(V^{*}\).
Solución
Sea \(f,g\in W^{0}\) y \(\alpha,\beta\in K\).
Para todo \(w\in W\) tenemos \((\alpha f+\beta g)(w)=\alpha f(w)+\beta g(w)=0\),
por lo que la combinación lineal está en \(W^{0}\).
Además el cero está presente. Luego es subespacio.
Ejercicio 4
Encontrar el anulador de \(W=\mathrm{span}\{(1,2,0,0),(0,1,1,0)\}\subseteq\mathbb{R}^4\).
Solución
Sea \(f(x)=a x_1+b x_2+c x_3+d x_4\).
Imponemos las condiciones y resolvemos el sistema para \((a,b,c,d)\).
El espacio solución será \(W^{0}\).
Ejercicio 5
Relacione el anulador con la imagen de la transpuesta de una matriz.
Solución
Si \(A\) es la matriz de una aplicación \(f:V\to W\) en bases dadas, entonces el anulador de la imagen de \(f\) coincide con el núcleo de la aplicación dual, que se puede relacionar con \(\mathrm{Ker}(A^T)\) (dependiendo de elecciones de bases).
En palabras: formas que anulan la imagen corresponden a vectores en el núcleo de \(A^T\).
Resumen
| Concepto | Fórmula | Observación |
|---|---|---|
| Anulador | \(W^{0}=\{f\in V^{*}\;\vert\; f(w)=0,\forall w\in W\}\) | Subespacio de \(V^{*}\). |
| Dimensión | \(\dim W + \dim W^{0} = \dim V\) | Fundamental para problemas duales. |