Aplicaciones Lineales

En esta página ampliamos el concepto de aplicación (o transformación) lineal, presentamos criterios prácticos para verificar la linealidad y varios ejemplos con explicaciones paso a paso.

Definición

Una aplicación lineal es una función $f: V \to V'$ entre espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $K$ que conserva la suma y el producto por escalares.

Equivalente a la forma combinada, solemos usar las dos propiedades separadas (más fáciles de recordar y comprobar):

Aditividad: $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}),\qquad \forall\;\mathbf{u},\mathbf{v}\in V.$
Homogeneidad (compatibilidad con escalares): $f(a\mathbf{u}) = a\, f(\mathbf{u}),\qquad \forall\;a\in K,\;\mathbf{u}\in V.$

Estas dos propiedades juntas son equivalentes a la condición combinada $f(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = a f(\mathbf{u}) + b f(\mathbf{v}),\qquad \forall\;a,b\in K,\;\mathbf{u},\mathbf{v}\in V.$

Propiedades rápidas

Siempre se cumple: $f(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_{V'}$ (filtro rápido para descartar linealidad).
Para verificar la linealidad basta comprobar la aditividad y la homogeneidad sobre una base o generadores del dominio.

Cómo comprobar si una aplicación es lineal

Árbol de Decisión

graph TD
    A["¿f(0) = 0?"] -->|No| B["❌ NO ES LINEAL"]
    A -->|Sí| C["¿f(au + bv) = af(u) + bf(v)?"]
    C -->|No| D["❌ NO ES LINEAL"]
    C -->|Sí| E["✅ ES LINEAL"]

    style B fill:#ffcccc
    style D fill:#ffcccc
    style E fill:#ccffcc

Procedimiento Paso a Paso

Filtro rápido: Comprobar que $f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
Si falla → no es lineal ✗
Si cumple → continuar
Verificar linealidad: Comprobar $f(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{u})+\beta f(\mathbf{v})$ para vectores genéricos o sobre una base
Interpretación alternativa: Verificar por separado
Aditividad: $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$
Homogeneidad: $f(a\mathbf{u}) = a f(\mathbf{u})$

Ejemplos y ejercicios

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad f(x,y,z)=(x+y,\; y-z).$

Comprobar que $f$ es lineal.

Solución

Tomamos vectores $u=(x_1,y_1,z_1),\; v=(x_2,y_2,z_2)$ y escalares $\alpha,\beta$. Calculamos:

$f(\alpha u+\beta v)=f(\alpha x_1+\beta x_2,\;\alpha y_1+\beta y_2,\;\alpha z_1+\beta z_2)=$ $=(\alpha x_1+\beta x_2+\alpha y_1+\beta y_2,\;\alpha y_1+\beta y_2-\alpha z_1-\beta z_2)$ $=\alpha(x_1+y_1,y_1-z_1)+\beta(x_2+y_2,y_2-z_2)=\alpha f(u)+\beta f(v).$

Por tanto, $f$ es lineal.

Ejercicio 2

Sea $$g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad g(x,y)=(x+1,y).$$ Comprobar que no es lineal.

Solución

Observamos $g(0,0)=(1,0)\neq(0,0)$, luego no cumple la condición mínima $g(0)=0$ y por tanto no es lineal.

Ejercicio 3

Decidir si la aplicación $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad h(x,y)=3x-2y$ es lineal y justificar.

Solución

Es de la forma $h(x,y)=a x + b y$ con $a,b$ escalares; comprobamos linealidad por las propiedades de suma y multiplicación por escalares (es una forma lineal). Además $h(0,0)=0$.

Ejercicio 4

Sea $p:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R},\quad p(q)=q(1)+q(0).$ ¿Es lineal?

Solución ampliada

Vamos a detallar la comprobación usando polinomios genéricos y mostrando tanto la aditividad como la homogeneidad.

1) Notación: sea $$ q_1(x)=a_0+a_1x+a_2x^2, \qquad q_2(x)=b_0+b_1x+b_2x^2 $$ (cualquier polinomio en $\mathbb{R}_2[x]$ puede escribirse así).

2) Evaluación en puntos: por definición $p(q)=q(1)+q(0).$ Calculamos primero las evaluaciones individuales: $q_1(1)=a_0+a_1+a_2,\quad q_1(0)=a_0,$ $q_2(1)=b_0+b_1+b_2,\quad q_2(0)=b_0.$

3) Comprobación de aditividad (suma):

\[ \begin{align*} p(q_1+q_2)&=(q_1+q_2)(1)+(q_1+q_2)(0) \\ &=\bigl(q_1(1)+q_2(1)\bigr)+\bigl(q_1(0)+q_2(0)\bigr) \\ &=\bigl(q_1(1)+q_1(0)\bigr)+\bigl(q_2(1)+q_2(0)\bigr)=p(q_1)+p(q_2). \end{align*} \]

4) Comprobación de homogeneidad (multiplicación por un escalar $\alpha$):

\[ \begin{align*} p(\alpha q_1)&=(\alpha q_1)(1)+(\alpha q_1)(0) \\ &=\alpha q_1(1)+\alpha q_1(0)=\alpha\bigl(q_1(1)+q_1(0)\bigr)=\alpha p(q_1). \end{align*} \]

5) Comprobación combinada (linealidad completa): para escalares $\alpha,\beta$ y polinomios $q_1,q_2$ se tiene:

\[ \begin{align*} p(\alpha q_1+\beta q_2)&=(\alpha q_1+\beta q_2)(1)+(\alpha q_1+\beta q_2)(0) \\ &=\alpha q_1(1)+\beta q_2(1)+\alpha q_1(0)+\beta q_2(0) \\ &=\alpha\bigl(q_1(1)+q_1(0)\bigr)+\beta\bigl(q_2(1)+q_2(0)\bigr) \\ &=\alpha p(q_1)+\beta p(q_2). \end{align*} \]

Con esto queda claro que $p$ es una aplicación lineal: anula el cero (porque $p(0)=0(1)+0(0)=0$), satisface la aditividad y la homogeneidad.

Ejercicio 5

Construir una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ tal que $f(1,0)=(2,1)$ y $f(0,1)=(0,3)$ y expresar $f(x,y)$.

Solución

Como $f$ es lineal y la base canónica es $\{(1,0),(0,1)\}$, para un vector genérico $(x,y)$ se tiene

\[ (x,y)=x(1,0)+y(0,1). \]

Por linealidad, $$ f(x,y)=x\,f(1,0)+y\,f(0,1)=x(2,1)+y(0,3)=(2x,\;x+3y). $$

La matriz de $f$ en la base canónica tiene como columnas las imágenes de los vectores base:

\[ A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 1 & 3\end{pmatrix}, \]

cuyas columnas son $f(1,0)=(2,1)$ y $f(0,1)=(0,3)$. Por tanto

\[ A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x \\ x+3y\end{pmatrix}. \]

Observaciones breves: - Se cumple $f(0,0)=(0,0)$. - La aplicación así definida es única por la linealidad y las imágenes dadas sobre la base.

Resumen

Término	Fórmula/condición	Descripción breve
Filtro rápido	$f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$	Condición necesaria (pero no suficiente)
Aditividad	$f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})$	Conserva suma
Homogeneidad	$f(a\mathbf{u})=a f(\mathbf{u})$	Conserva producto por escalares
Linealidad	$f(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{u})+\beta f(\mathbf{v})$	Combinación de ambas propiedades

✨ Características Adicionales

💡 Criterio de linealidad de formas lineales

Si $f(\mathbf{x}) = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n$ (suma ponderada de coordenadas), entonces siempre es lineal y automáticamente $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$.

⚠️ Errores Comunes

Verificar PRIMERO que $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$; si no cumple, se ahorra trabajo
No confundir "función lineal" (recta) en Cálculo con "aplicación lineal" (preserva estructura)
Una aplicación lineal $f(x) = cx$ en ℝ pasa por el origen necesariamente
Términos constantes como $f(x,y) = x+y+1$ nunca son lineales

Término	Fórmula/condición	Descripción breve
Filtro rápido	\(f(\mathbf{0})=\mathbf{0}\)	Condición necesaria (pero no suficiente)
Aditividad	\(f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})\)	Conserva suma
Homogeneidad	\(f(a\mathbf{u})=a f(\mathbf{u})\)	Conserva producto por escalares
Linealidad	\(f(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{u})+\beta f(\mathbf{v})\)	Combinación de ambas propiedades