UD3 — Ejercicios integradores (Aplicaciones lineales)

Las soluciones y explicaciones están colapsadas por defecto para mejorar la lectura. Abre “Pista” o “Solución paso a paso” solo cuando lo necesites.

Cómo usar esta hoja

• Avanza en orden: de lo más mecánico a lo más “de examen”.
• En cada ejercicio: enunciado → pista → solución. - En cálculos con matrices, se muestran operaciones elementales y reducciones.

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1) Aplicaciones lineales (definición, propiedades)

Recordatorio rápido

Una aplicación \(T:V\to W\) es lineal si para todo \(u,v\in V\) y \(\alpha\in\mathbb{K}\):

\[T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\alpha u)=\alpha T(u).\]

Test 1.1 (conceptos)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta para una aplicación lineal \(T\)?

a) \(T(u\cdot v)=T(u)\cdot T(v)\).

b) \(T(0)=0\).

c) \(T(u)\neq 0\) para todo \(u\neq 0\).

d) \(T(u+v)=T(u)\,T(v)\).

Respuesta y explicación

Correcta: b).

• Si \(T\) es lineal, entonces \(T(0)=T(0\cdot u)=0\cdot T(u)=0\).
• Las opciones a) y d) introducen productos que no forman parte de la definición.
• La opción c) falla si existe un vector no nulo en el núcleo.

Ejercicio 1.2: ¿Es lineal?

Enunciado

Decide si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por

\[T(x,y)=(2x-y,\;x+3y)\]

es lineal.

Pista

En \(2\\times 2\), es isomorfismo si el determinante no es cero.

Solución paso a paso

1) Calculamos el determinante: Sea \(u=(x_1,y_1)\) y \(v=(x_2,y_2)\).

1) Aditividad:

\[\begin{align*} T(u+v) &= T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)\\ &= (2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+3(y_1+y_2))\\ &= (2x_1-y_1,\;x_1+3y_1) + (2x_2-y_2,\;x_2+3y_2)\\ &= T(u)+T(v). \end{align*}\]

2) Homogeneidad: para \(\alpha\in\mathbb{R}\),

\[\begin{align*} T(\alpha u) &= T(\alpha x_1,\alpha y_1) = (2\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha x_1+3\alpha y_1)\\ &= \alpha(2x_1-y_1,\;x_1+3y_1)=\alpha T(u). \end{align*}\]

Conclusión: \(T\) es lineal.

Ejercicio 1.3: ¿Es lineal?

Enunciado

Decide si \(S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por

\[S(x,y)=(x+1,\;y)\]

es lineal.

Pista

Evalúa \(S(0,0)\).

Solución paso a paso

Si fuese lineal, debería cumplirse \(S(0,0)=(0,0)\).

\[S(0,0)=(0+1,0)=(1,0)\neq(0,0).\]

Conclusión: \(S\) no es lineal.

Ejercicio 1.4: Construir una aplicación lineal a partir de imágenes

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) lineal y supón que

\[T(1,0)=(1,-1,2),\qquad T(0,1)=(0,3,1).\]

1. Calcula \(T(2,-1)\).

2. Da una fórmula de \(T(x,y)\).

Pista

Usa que \((x,y)=x(1,0)+y(0,1)\) y aplica linealidad.

Solución paso a paso

Como \((x,y)=x(1,0)+y(0,1)\),

\[\begin{align*} T(x,y) &= x\,T(1,0)+y\,T(0,1)\\ &= x(1,-1,2)+y(0,3,1)\\ &= (x,\;-x+3y,\;2x+y). \end{align*}\]

1) Para \((2,-1)\):

\[T(2,-1)=(2,\;-2+3(-1),\;4+(-1))=(2,-5,3).\]

Ejercicio 1.5: Linealidad en polinomios (derivada)

Enunciado

Sea \(D:P_2\to P_1\) definida por \(D(p)=p'\).

1. Demuestra que \(D\) es lineal.

2. Calcula \(D\,(2+3x-x^2)\).

Pista

Usa \((p+q)'=p'+q'\) y \((\alpha p)'=\alpha p'\).

Solución paso a paso

1) Sean \(p,q\in P_2\) y \(\alpha\in\mathbb{R}\).

\[\begin{align*} D(p+q) &= (p+q)' = p'+q' = D(p)+D(q),\\ D(\alpha p) &= (\alpha p)' = \alpha p' = \alpha D(p). \end{align*}\]

Luego \(D\) es lineal.

2) Derivamos:

\[D\,(2+3x-x^2)=(2+3x-x^2)'=0+3-2x=3-2x.\]

Ejercicio 1.6: Comprobar linealidad por un contraejemplo

Enunciado

Decide si \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por

\[F(x,y)=x+y+1\]

es lineal.

Pista

Si es lineal, debe cumplirse \(F(0,0)=0\).

Solución paso a paso

\[F(0,0)=0+0+1=1\neq 0.\]

Conclusión: \(F\) no es lineal.

Test 1.7 (combinaciones de aplicaciones)

Si \(T\) y \(S\) son lineales \(V\to W\), ¿cuál de las siguientes aplicaciones es siempre lineal?

a) \(U(v)=T(v)\cdot S(v)\).

b) \(U(v)=T(v)+S(v)\).

c) \(U(v)=\|T(v)\|\).

d) \(U(v)=T(v)+w_0\) (con \(w_0\neq 0\) fijo).

Respuesta y explicación

Correcta: b).

• La suma de lineales es lineal.
• Producto, norma y traslación por un vector fijo no preservan en general la linealidad.

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2) Núcleo e imagen

Idea clave

Para \(T:V\to W\) lineal:

• \(\ker(T)=\{v\in V: T(v)=0\}\).
• \(\operatorname{Im}(T)=\{T(v): v\in V\}\).
• Teorema rango-nulidad: \(\dim(V)=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)\).

Test 2.1 (rango-nulidad)

Sea \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) lineal con \(\dim(\ker T)=2\). Entonces \(\dim(\operatorname{Im}T)\) vale:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Respuesta y explicación

Correcta: b).

Por rango-nulidad:

\[4 = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T)=2+\dim(\operatorname{Im}T)\Rightarrow \dim(\operatorname{Im}T)=2.\]

Ejercicio 2.2: Núcleo e imagen de una matriz (con reducción)

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) dada por \(T(x)=Ax\), con

\[ A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&2&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}. \]

1. Calcula una base de \(\ker(T)\).

2. Calcula una base de \(\operatorname{Im}(T)\).

Pista

• Para el núcleo: resuelve \(Ax=0\).
• Para la imagen: mira columnas pivote tras reducir \(A\).

Solución paso a paso

1) Núcleo. Resolvemos \(Ax=0\) con \(x=(x,y,z)\).

\[\begin{align*} x+y &= 0\\ 2x+2y &= 0\\ y+z &= 0 \end{align*}\]

La segunda ecuación es redundante. De la primera: \(y=-x\). De la tercera: \(z=-y=x\).

Por tanto:

\[(x,y,z)=(x,-x,x)=x(1,-1,1).\]

Luego:

\[\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}.\]

2) Imagen. Las columnas de \(A\) son

\[c_1=(1,2,0),\quad c_2=(1,2,1),\quad c_3=(0,0,1).\]

Observa que \(c_2=c_1+c_3\). Por tanto, una base de la imagen puede ser

\[\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,0,1)\}.\]

(Rango \(=2\) y nulidad \(=1\), coherente con \(3=2+1\).)

Ejercicio 2.3: Núcleo de una aplicación \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\)

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\),

\[T(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+z).\]

1. Halla \(\ker(T)\).

2. Decide si \(T\) es sobreyectiva.

Pista

Plantea el sistema \(T(x,y,z)=(0,0)\) y usa rango-nulidad para la sobreyectividad.

Solución paso a paso

1) Núcleo. Resolver:

\[\begin{align*} x+2y-z &= 0\\ 3x+y+z &= 0 \end{align*}\]

De la primera: \(x=z-2y\).

Sustituimos en la segunda:

\[\begin{align*} 3(z-2y)+y+z &= 0\\ 3z-6y+y+z &= 0\\ 4z-5y &= 0 \Rightarrow y=\frac{4}{5}z. \end{align*}\]

Entonces

\[x=z-2\cdot\frac{4}{5}z=z-\frac{8}{5}z=-\frac{3}{5}z.\]

Tomamos \(z=5t\):

\[(x,y,z)=(-3t,4t,5t)=t(-3,4,5).\]

Por tanto:

\[\ker(T)=\operatorname{span}\{(-3,4,5)\}.\]

2) Sobreyectiva. Como el codominio es \(\mathbb{R}^2\), basta ver si el rango es 2.

Matriz asociada (bases canónicas):

\[A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&1&1\end{pmatrix}.\]

Las filas son linealmente independientes (por ejemplo, el determinante del subbloque de columnas 1-2 es \(1\cdot 1-3\cdot 2=-5\neq 0\)), así que \(\operatorname{rg}(A)=2\).

Luego \(\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2\) y \(T\) es sobreyectiva.

Ejercicio 2.4: ¿Pertenece a la imagen? (sistema \(Ax=b\))

Enunciado

Considera la aplicación del Ejercicio 2.2, con

\[ A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&2&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}. \]

Decide si los siguientes vectores pertenecen a \(\operatorname{Im}(T)\):

1. \(b_1=(1,0,0)\)

2. \(b_2=(3,6,1)\)

En caso afirmativo, encuentra un vector \(x\) tal que \(Ax=b\).

Pista

Resuelve \(Ax=b\) por reducción. Si aparece una fila del tipo \((0\ 0\ 0\ |\ 1)\), no hay solución.

Solución paso a paso

Trabajamos con la matriz ampliada.

1) Para \(b_1=(1,0,0)\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&1\\ 2&2&0&0\\ 0&1&1&0 \end{array}\right)\]

Hacemos \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&1\\ 0&0&0&-2\\ 0&1&1&0 \end{array}\right)\]

La fila \([0\ 0\ 0\ |\ -2]\) implica incompatibilidad.

Conclusión: \(b_1\notin\operatorname{Im}(T)\).

2) Para \(b_2=(3,6,1)\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&3\\ 2&2&0&6\\ 0&1&1&1 \end{array}\right)\]

\(R_2\leftarrow R_2-2R_1\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&3\\ 0&0&0&0\\ 0&1&1&1 \end{array}\right)\]

Es compatible. De la tercera fila: \(y+z=1\). De la primera: \(x+y=3\).

Tomando \(z=t\), entonces \(y=1-t\) y \(x=3-(1-t)=2+t\).

Por ejemplo, con \(t=0\):

\[x=(2,1,0),\quad Ax=(3,6,1)=b_2.\]

Ejercicio 2.5: Describir la imagen como ecuación cartesiana

Enunciado

Para la matriz del Ejercicio 2.2, describe \(\operatorname{Im}(T)\) como el conjunto de vectores \((u,v,w)\in\mathbb{R}^3\) que verifican una ecuación lineal.

Pista

Si una base de la imagen es \((1,2,0)\) y \((0,0,1)\), parametriza y elimina parámetros.

Solución paso a paso

Sabemos que

\[\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,0,1)\}.\]

Entonces cualquier vector de la imagen es

\[(u,v,w)=s(1,2,0)+t(0,0,1)=(s,2s,t).\]

Eliminando parámetros: \(v=2u\).

Por tanto:

\[\operatorname{Im}(T)=\{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3: v-2u=0\}.\]

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3) Inyectiva, sobreyectiva e isomorfismos

Guía práctica (muy de examen)

• \(T\) es inyectiva \(\Leftrightarrow \ker(T)=\{0\}\).
• Si \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\):
• Si \(n>m\), no puede ser inyectiva.
• Si \(n<m\), no puede ser sobreyectiva.

Test 3.1 (dimensiones)

¿Cuál es la afirmación correcta?

a) Existe una aplicación lineal inyectiva \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^1\).

b) Existe una aplicación lineal sobreyectiva \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\).

c) Toda aplicación lineal \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) es isomorfismo.

d) Existe una aplicación lineal inyectiva \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\).

Respuesta y explicación

Correcta: d).

• Inyectiva \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^1\) es imposible (dimensión baja en codominio).
• Sobreyectiva \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) es imposible (dimensión alta en codominio).
• En \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) hace falta que el determinante sea no nulo (no siempre pasa).

Ejercicio 3.2: Inyectiva/sobreyectiva desde la matriz

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) con matriz

\[ A=\begin{pmatrix} 1&0&2\\ 0&1&-1\\ 2&0&4 \end{pmatrix}. \]

Decide si \(T\) es inyectiva, sobreyectiva e isomorfismo.

Pista

Reduce por filas o detecta dependencia: ¿una fila es combinación de otra?

Solución paso a paso

Observa que la fila 3 es \(2\) veces la fila 1:

\[(2,0,4)=2(1,0,2).\]

Por tanto, las filas no son L.I. y el rango es \(\operatorname{rg}(A)<3\).

• Si \(\operatorname{rg}(A)<3\), entonces \(\dim(\operatorname{Im}T)<3\), así que no es sobreyectiva.
• Además, por rango-nulidad: \(\dim(\ker T)=3-\operatorname{rg}(A)>0\), luego el núcleo no es trivial y no es inyectiva.

Conclusión: no es isomorfismo.

Ejercicio 3.3: Isomorfismo con determinante

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) con matriz

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}.\]

1. Decide si \(T\) es isomorfismo.

2. Si lo es, calcula \(T^{-1}\) (matriz).

Pista

En \(2\times 2\), \(T\) es isomorfismo \(\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\). Luego usa la fórmula de la inversa.

Solución paso a paso

1) Calculamos el determinante:

\[\det(A)=1\cdot(-1)-3\cdot 2=-1-6=-7\neq 0.\]

Luego \(T\) es isomorfismo.

2) Inversa de una \(2\times 2\):

Si \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), entonces

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.\]

Aquí \(a=1,b=2,c=3,d=-1\):

\[A^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{pmatrix}.\]

Ejercicio 3.4: Parámetro para inyectividad/sobreyectividad

Enunciado

Sea \(T_k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) con matriz

\[A_k=\begin{pmatrix}1&k\\2&2\end{pmatrix}.\]

1. ¿Para qué valores de \(k\) es \(T_k\) un isomorfismo?

2. Para el valor de \(k\) que no da isomorfismo, encuentra una base de \(\ker(T_k)\).

Pista

En $2\times 2$, es isomorfismo si el determinante no es cero.

Solución paso a paso

1) $\(\det(A_k)=1\cdot 2-2\cdot k=2-2k=2(1-k).\)$

Así que \(\det(A_k)\neq 0\iff k\neq 1\).

Conclusión: \(T_k\) es isomorfismo para todo \(k\neq 1\).

2) Para \(k=1\),

\[A_1=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}.\]

Resolver \(A_1\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\) equivale a:

\[x+y=0\Rightarrow (x,y)=(t,-t)=t(1,-1).\]

Luego:

\[\ker(T_1)=\operatorname{span}\{(1,-1)\}.\]

Test 3.5 (criterio rápido)

Para \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) con matriz \(A\), ¿qué condición es equivalente a que \(T\) sea un isomorfismo?

a) \(\operatorname{rg}(A)=0\)

b) \(\det(A)=0\)

c) \(\ker(T)\neq\{0\}\)

d) \(\det(A)\neq 0\)

Respuesta y explicación

Correcta: d).

En dimensión finita, \(T\) es isomorfismo \(\Leftrightarrow A\) es invertible \(\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\).

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4) Matriz asociada a una aplicación lineal

Idea clave

En bases canónicas, si \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) es lineal y \(T(e_j)\) son las imágenes de los vectores canónicos, entonces la matriz asociada \(A\) tiene como columna \(j\) el vector \(T(e_j)\).

Ejercicio 4.1: Obtener la matriz desde una fórmula

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\),

\[T(x,y)=(x+2y,\;3x-y).\]

1. Halla la matriz \(A\) en la base canónica.

2. Calcula \(T(1,-2)\) mediante la matriz.

Pista

Calcula \(T(1,0)\) y \(T(0,1)\). Esas serán las columnas.

Solución paso a paso

1) Imágenes de la base canónica:

\[T(1,0)=(1,3),\qquad T(0,1)=(2,-1).\]

Luego

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}.\]

2) Vector \(v=(1,-2)\):

\[T(v)=Av=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-4\\3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}.\]

Ejercicio 4.2: Matriz a partir de imágenes (dominio \(\mathbb{R}^3\))

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) lineal y supón:

\[T(1,0,0)=(2,1),\quad T(0,1,0)=(-1,0),\quad T(0,0,1)=(3,-2).\]

1. Halla la matriz asociada \(A\).

2. Calcula \(T(4,-1,2)\).

Pista

Coloca \(T(e_1),T(e_2),T(e_3)\) como columnas en ese orden.

Solución paso a paso

1) La matriz es

\[A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&-2\end{pmatrix}.\]

2) Para \(v=(4,-1,2)\):

\[T(v)=Av=\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8+1+6\\4+0-4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}.\]

Ejercicio 4.3: Matriz de \(T\) en otras bases

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) con matriz en la base canónica

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.\]

Considera las bases:

\[B=\{b_1=(1,1),\ b_2=(1,0)\},\qquad C=\{c_1=(1,0),\ c_2=(1,1)\}.\]

Calcula la matriz \([T]_C^B\) (matriz de \(T\) en base \(B\) del dominio y base \(C\) del codominio).

Pista

Usa matrices de cambio:

$$[T]_C^B = P_C^{-1}\,A\,P_B,$$

donde $P_B=[b_1\ b_2]$ y $P_C=[c_1\ c_2]$.

Solución paso a paso

Construimos matrices de cambio con columnas las bases:

\[P_B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad P_C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.\]

Inversas:

• \(\det(P_B)=1\cdot 0-1\cdot 1=-1\) y $\(P_B^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}.\)$
• \(P_C^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\).

Calculamos primero \(A P_B\):

\[A P_B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}.\]

Ahora

\[\begin{align*} [T]_C^B &= P_C^{-1}(A P_B) =\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}. \end{align*}\]

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5) Espacio dual y base dual

Recordatorio corto

El dual \(V^*\) es el conjunto de aplicaciones lineales \(\varphi:V\to\mathbb{K}\) (funcionales lineales).

Si \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) es una base de \(V\), la base dual \(B^*=\{\varphi^1,\dots,\varphi^n\}\) cumple:

\[\varphi^i(b_j)=\delta_{ij}.\]

Test 5.1 (definición)

En una base \(B=\{b_1,b_2,b_3\}\) y su dual \(B^*=\{\varphi^1,\varphi^2,\varphi^3\}\), ¿cuánto vale \(\varphi^2(b_2)\)?

a) 0

b) 1

c) 2

d) Depende de la base

Respuesta y explicación

Correcta: b), por definición de base dual: \(\varphi^i(b_j)=\delta_{ij}\).

Ejercicio 5.2: Calcular base dual en \(\mathbb{R}^2\)

Enunciado

Sea la base \(B=\{b_1,b_2\}\) de \(\mathbb{R}^2\) con

\[b_1=(1,1),\qquad b_2=(1,2).\]

Calcula la base dual \(B^*={\varphi^1,\varphi^2}\) y escribe \(\varphi^1(x,y)\) y \(\varphi^2(x,y)\).

Pista

Si \(P=[b_1\ b_2]\), entonces las filas de \(P^{-1}\) son los coeficientes de los funcionales duales (como vectores fila).

Solución paso a paso

Formamos la matriz con columnas \(b_1,b_2\):

\[P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.\]

Calculamos \(P^{-1}\). Su determinante es \(\det(P)=1\cdot 2-1\cdot 1=1\).

\[P^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}.\]

Interpretación: buscamos \(\varphi^1,\varphi^2\) como formas lineales

\[\varphi^1(x,y)=ax+by,\qquad \varphi^2(x,y)=cx+dy,\]

tales que \(\varphi^i(b_j)=\delta_{ij}\). Las filas de \(P^{-1}\) nos dan \((a,b)\) y \((c,d)\):

• Fila 1: \((2,-1)\), luego \(\varphi^1(x,y)=2x-y\).
• Fila 2: \((-1,1)\), luego \(\varphi^2(x,y)=-x+y\).

Comprobación rápida:

\[\varphi^1(b_1)=2\cdot 1-1=1,\;\varphi^1(b_2)=2\cdot 1-2=0,$$ $$\varphi^2(b_1)=-1+1=0,\;\varphi^2(b_2)=-1+2=1.\]

Ejercicio 5.3: Expresar un funcional en la base dual

Enunciado

Sea la base \(B\) del Ejercicio 5.2 y su dual \(B^*=\{\varphi^1,\varphi^2\}\). Considera el funcional

\[\psi(x,y)=x+2y.\]

Escribe \(\psi\) como combinación lineal de la base dual:

\[\psi=\alpha\,\varphi^1+\beta\,\varphi^2.\]

Pista

En una base dual, los coeficientes se obtienen evaluando en la base primal:

\[\alpha=\psi(b_1),\qquad \beta=\psi(b_2).\]

Solución paso a paso

Recordemos \(b_1=(1,1)\) y \(b_2=(1,2)\).

Evaluamos:

\[\psi(b_1)=\psi(1,1)=1+2\cdot 1=3,$$ $$\psi(b_2)=\psi(1,2)=1+2\cdot 2=5.\]

Por tanto:

\[\psi=3\,\varphi^1+5\,\varphi^2.\]

Test 5.4 (hiperplanos)

Si \(\varphi\in(\mathbb{R}^3)^*\) es no nulo, entonces \(\ker(\varphi)\) es:

a) Todo \(\mathbb{R}^3\)

b) Una recta

c) Un plano que pasa por el origen

d) Un punto

Respuesta y explicación

Correcta: c).

Si \(\varphi\neq 0\), entonces \(\ker(\varphi)\) es un subespacio de codimensión 1: un plano por el origen.

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6) Anulador de un subespacio

Fórmula útil

Si \(U\le V\) y \(\dim(V)=n\), entonces

\[\dim(U^0)=n-\dim(U).\]

Además, si \(U=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\}\), entonces

\[U^0=\{\varphi\in V^*: \varphi(u_i)=0\ \forall i\}.\]

Ejercicio 6.1: Anulador a partir de generadores

Enunciado

En \(V=\mathbb{R}^3\), sea

\[U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.\]

Halla una base de \(U^0\).

Pista

Escribe un funcional como \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\) y fuerza \(\varphi(u)=0\) para los generadores.

Solución paso a paso

Sea \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\).

Exigimos \(\varphi(1,0,1)=0\) y \(\varphi(0,1,1)=0\):

\[\begin{align*} a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 &= 0 \Rightarrow a+c=0\\ a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 1 &= 0 \Rightarrow b+c=0 \end{align*}\]

De aquí \(a=-c\) y \(b=-c\). Tomando \(c=t\):

\[(a,b,c)=(-t,-t,t)=t(-1,-1,1).\]

Luego

\[U^0=\operatorname{span}\{\varphi\},\quad \varphi(x,y,z)=-x-y+z.\]

Ejercicio 6.2: Anulador de un subespacio dado por ecuación

Enunciado

Sea \(U\subset\mathbb{R}^3\) definido por

\[U=\{(x,y,z): x+y+z=0\}.\]

Halla una base de \(U^0\).

Pista

\(U\) es un plano por una ecuación lineal. Piensa qué funcional “mide” exactamente esa ecuación.

Solución paso a paso

Si \(u\in U\), entonces cumple \(x+y+z=0\).

Considera el funcional

\[\varphi(x,y,z)=x+y+z.\]

Entonces para todo \(u\in U\), \(\varphi(u)=0\). Por tanto \(\varphi\in U^0\).

Como \(\dim(U)=2\) (un plano en \(\mathbb{R}^3\)), se tiene \(\dim(U^0)=3-2=1\).

Luego el anulador es 1-dimensional y queda:

\[U^0=\operatorname{span}\{\varphi\},\quad \varphi(x,y,z)=x+y+z.\]

Ejercicio 6.3: Propiedad del anulador (suma e intersección)

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), sean

\[U=\operatorname{span}\{(1,0,0)\},\qquad W=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.\]

1. Calcula \(U^0\) y \(W^0\).

2. Calcula \((U+W)^0\) usando que \((U+W)^0=U^0\cap W^0\).

Pista

Escribe \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\) y fuerza \(\varphi\) a anular los generadores.

Solución paso a paso

Sea \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\).

1) Para \(U=\langle(1,0,0)\rangle\):

\[\varphi(1,0,0)=a=0.\]

Luego en \(U^0\) quedan libres \(b\) y \(c\), es decir

\[U^0=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}.\]

Para \(W=\langle(0,1,0)\rangle\):

\[\varphi(0,1,0)=b=0,\]

y por tanto

\[W^0=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\}.\]

2) Intersección:

\[U^0\cap W^0=\{(a,b,c): a=0\text{ y } b=0\}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.\]

Por la propiedad, \((U+W)^0=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}\).

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7) Interpolación de Lagrange

Recordatorio

Dados \(n+1\) puntos \((x_0,y_0),\dots,(x_n,y_n)\) con \(x_i\) distintos, existe un único polinomio \(p\) de grado \(\le n\) tal que \(p(x_i)=y_i\).

En forma de Lagrange:

\[p(x)=\sum_{i=0}^n y_i\,L_i(x),\qquad L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.\]

Test 7.1 (grado)

Con 4 puntos con abscisas distintas, el polinomio interpolador único tiene grado como máximo:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Respuesta y explicación

Correcta: c).

Con 4 puntos hay \(n+1=4\Rightarrow n=3\), así que \(\deg(p)\le 3\).

Ejercicio 7.2: Interpolación (3 puntos)

Enunciado

Encuentra el polinomio de grado \(\le 2\) que pasa por

\[(0,1),\ (1,2),\ (2,0).\]

Pista

Construye \(L_0,L_1,L_2\) y luego \(p=\sum y_iL_i\).

Solución paso a paso

Puntos: \((x_0,y_0)=(0,1)\), \((x_1,y_1)=(1,2)\), \((x_2,y_2)=(2,0)\).

1) Polinomios base:

\[\begin{align*} L_0(x) &= \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{2},\\ L_1(x) &= \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)}=\frac{x(x-2)}{-1}= -x(x-2),\\ L_2(x) &= \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}=\frac{x(x-1)}{2}. \end{align*}\]

2) Interpolador:

\[p(x)=1\cdot L_0(x)+2\cdot L_1(x)+0\cdot L_2(x)=L_0(x)+2L_1(x).\]

Expandimos:

\[L_0(x)=\frac{x^2-3x+2}{2}=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1,\]

\[2L_1(x)=2(-x^2+2x)=-2x^2+4x.\]

Sumando:

\[\begin{align*} p(x) &= \left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1\right)+\left(-2x^2+4x\right)\\ &= -\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{2}x+1. \end{align*}\]

Comprobación:

\[p(0)=1,\quad p(1)= -\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+1=2,\quad p(2)=-6+5+1=0.\]

Ejercicio 7.3: ¿Existe interpolación?

Enunciado

¿Existe un polinomio (de cualquier grado) que pase por los puntos

\[(1,2),\ (1,3),\ (2,0)?\]

Pista

Fíjate en las abscisas repetidas.

Solución paso a paso

Si un polinomio \(p\) pasa por \((1,2)\) y por \((1,3)\), entonces debería cumplirse a la vez

\[p(1)=2\quad\text{y}\quad p(1)=3,\]

lo cual es imposible.

Conclusión: no existe ningún polinomio que interpole esos puntos.

Ejercicio 7.4: Calcular un valor interpolado sin expandir todo

Enunciado

Sea \(p\) el polinomio de grado \(\le 2\) que interpola los puntos

\[(0,0),\ (1,1),\ (2,4).\]

Calcula \(p(3)\).

Pista

Puedes construir \(p(x)\) por Lagrange o reconocer el patrón de los valores.

Solución paso a paso

Observa que los puntos cumplen \(y=x^2\) para \(x=0,1,2\).

Como existe un único polinomio de grado \(\le 2\) que interpola tres puntos con abscisas distintas, necesariamente

\[p(x)=x^2.\]

Por tanto:

\[p(3)=9.\]

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8) Mix final (todo UD3)

Ejercicio 8.1: Núcleo + matriz + decisión de inyectividad

Enunciado

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) definida por

\[T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).\]

1. Halla la matriz asociada \(A\).

2. Calcula \(\ker(T)\).

3. Decide si \(T\) es isomorfismo.

Pista

• Escribe \(T(x,y,z)\) como combinación de \(x,y,z\).
• Para el núcleo, resuelve \(T(x,y,z)=(0,0,0)\).

Solución paso a paso

1) Matriz en base canónica. Observa:

\[\begin{align*} T(x,y,z) &= (x+y,\;y+z,\;x+z)\\ &= x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1). \end{align*}\]

Por tanto las columnas son \(T(e_1)=(1,0,1)\), \(T(e_2)=(1,1,0)\), \(T(e_3)=(0,1,1)\):

\[A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.\]

2) Núcleo: resolver

\[\begin{align*} x+y &= 0\\ y+z &= 0\\ x+z &= 0 \end{align*}\]

De \(x=-y\) y \(z=-y\). En la tercera: \(x+z=-y+(-y)=-2y=0\Rightarrow y=0\).

Entonces \(x=0\) y \(z=0\). Luego

\[\ker(T)=\{0\}.\]

3) Como \(\ker(T)=\{0\}\) en dimensión finita con \(\dim=3\), \(T\) es inyectiva y por tanto también sobreyectiva.

Conclusión: \(T\) es un isomorfismo.

Ejercicio 8.2: Anulador de la imagen (conecta UD3: imagen ↔ anulador)

Enunciado

Sea \(T\) la aplicación del Ejercicio 2.2 con imagen

\[\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,0,1)\}.\]

Halla una base de \((\operatorname{Im}T)^0\).

Pista

Un funcional \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\) pertenece a \((\operatorname{Im}T)^0\) si anula una base de la imagen.

Solución paso a paso

Sea \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\).

Debe cumplirse:

\[\begin{align*} \varphi(1,2,0)&=a+2b=0,\\ \varphi(0,0,1)&=c=0. \end{align*}\]

Por tanto \(c=0\) y \(a=-2b\). Tomando \(b=t\):

\[(a,b,c)=(-2t,t,0)=t(-2,1,0).\]

Luego

\[(\operatorname{Im}T)^0=\operatorname{span}\{\varphi\},\quad \varphi(x,y,z)=-2x+y.\]

Mini-plantilla (por si quieres automatizarte en exámenes)

Cuando te pidan “anulador de un subespacio” o “anulador de una imagen”, el esquema típico es:

• Escribe el funcional genérico \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\).
• Impón ecuaciones del tipo \(\varphi(u_i)=0\).
• Resuelve el sistema y parametriza.

Ejemplo de notación compacta con reducción (solo plantilla): R2 ← R2 − 2R1.