Espacio Dual y Base Dual

Explicamos qué es el espacio dual, cómo construir la base dual a partir de una base dada y cómo invertir el proceso.

Definición

El espacio dual de un espacio vectorial \(V\) sobre un cuerpo \(K\) se denota

\[\mathbf{V^*}=\mathrm{Hom}_K(V,K)\]

y es el conjunto de todas las formas lineales (o funcionales lineales) \(f:V\to K\).

La base dual. Si \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) es una base de \(V\), existe una única base

\[\mathbf{B^*}=\{f_1,\dots,f_n\}\subset V^*\]

que cumple la condición de Kronecker

\[\boxed{\;f_i(v_j)=\delta_{ij}\;}\]

En palabras: cada funcional \(f_i\) "detecta" la componente del vector en la dirección \(v_i\) y anula las demás.

Resumen rápido (clave):

• Vector \(v\in V\): un objeto del espacio (coordenadas).
• Covector / funcional \(f\in V^*\): una función lineal que asigna un escalar a cada vector (una "medida").

Definiciones fundamentales y propósito

1) Espacio dual (\(V^*\)).

Si \(V\) es un espacio vectorial sobre \(K\), entonces

\[V^*=\{f:V\to K\mid f\text{ lineal }\}.\]

• Estructura: \(V^*\) es un espacio vectorial con suma y multiplicación por escalares definidas punto a punto.
• Dimensión: si \(\dim V=n<\infty\), entonces \(\dim V^*=n\).

2) Base dual (\(B^*\)).

La base dual satisface

\[f_i(v_j)=\delta_{ij}.\]

3) Metodología de cálculo (paso a paso).

• Planteamiento: para cada \(i\) consideramos una forma genérica.

\[f_i(x_1,\dots,x_n)=a_{i1}x_1+\dots+a_{in}x_n\]

• Imponemos las condiciones \(f_i(v_j)=\delta_{ij}\) para \(j=1,\dots,n\) y resolvemos el sistema lineal para los coeficientes \(a_{ik}\).

4) Atajo matricial (muy útil).

• Sea \(M\) la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base \(B\):

\[M=[v_1\;v_2\;\dots\;v_n].\]

• Si \(M\) es invertible, entonces las filas de \(M^{-1}\) son las coordenadas de los funcionales \(f_i\) (cada fila representa un \(f_i\) en la base dual). Esto evita resolver \(n\) sistemas por separado.

5) ¿Para qué sirve? (aplicaciones / objetivo)

• Extracción de coordenadas: si \(w=c_1v_1+\dots+c_nv_n\), entonces

\[\boxed{\;c_i=f_i(w)\;}\]

• Cambio de base: facilita la comprensión de cómo transforman las formas con la inversa transpuesta.
• Aplicaciones prácticas: en física y geometría, los covectores representan magnitudes (gradientes, flujos) que aplicadas a vectores devuelven escalares.
• Objetivo pedagógico/práctico: simplificar cómputos, construir el isomorfismo canónico con el doble dual \(V\cong V^{**}\) en dimensión finita.

Cálculo de la base dual (procedimiento)

1. Sea \(v_j\) la \(j\)-ésima de la base; su imagen por \(f_i\) debe ser 1 si \(i=j\) y 0 si \(i\neq j\).
2. Escribir una forma genérica (por ejemplo \(f(x)=a_1 x_1+\dots+a_n x_n\)) y resolver el sistema para los coeficientes.

Ejercicios

Ejercicio 1

En \(\mathbb{R}^2\) con \(B=\{(1,2),(3,4)\}\), encontrar la base dual \(B^*\).

Solución

Queremos hallar \(f_1,f_2\) de la forma \(f(x,y)=a x + b y\) tales que \(f_i(v_j)=\delta_{ij}\) para \(v_1=(1,2)\) y \(v_2=(3,4)\).

Para \(f_1\) se obtiene el sistema

\[\begin{cases} a+2b=1\\ 3a+4b=0 \end{cases}\]

Multiplicando la primera por \(3\) y restando la segunda: \(2b=3\Rightarrow b=3/2\), luego \(a=1-2b=-2\). Así

\[f_1(x,y)=-2x+\tfrac{3}{2}y.\]

Para \(f_2\) resolvemos

\[\begin{cases} a+2b=0\\ 3a+4b=1 \end{cases}\]

De la primera \(a=-2b\), sustituyendo en la segunda se obtiene \(-6b+4b=1\Rightarrow b=-1/2\), \(a=1\), por tanto

\[f_2(x,y)=x-\tfrac{1}{2}y.\]

Ejercicio 2

Dadas las formas \(f_1(x,y)=x+2y\) y \(f_2(x,y)=3x+5y\) (filas de \(P^{-1}\)), encontrar la base original.

Solución

Escribimos las formas como filas de la matriz

\[Q=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 5\end{pmatrix}.\]

En la convención habitual del texto las filas de \(Q\) coinciden con las filas de \(P^{-1}\), donde las columnas de \(P\) son los vectores de la base original. Luego

\[P=Q^{-1}.\]

Calculamos \(\det(Q)=1\cdot5-2\cdot3=-1\), y

\[Q^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}5 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & 2\\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]

Por tanto las columnas de \(P\) son \(v_1=(-5,3)\) y \(v_2=(2,-1)\), que forman la base original buscada.

Ejercicio 3

Probar que si \(B\) es base y \(B^*\) su dual, entonces \(\dim V = \dim V^*\).

Solución

Si \(B\) tiene \(n\) vectores, la base dual \(B^*=\{f_1,\dots,f_n\}\) proporciona \(n\) formas linealmente independientes (ninguna combinación no trivial puede anularse en todos los vectores de \(B\)), de modo que \(\dim V^*\ge n\). Por otro lado, toda forma lineal está determinada por sus valores en \(B\), luego \(\dim V^*\le n\). Se concluye que \(\dim V^*=n=\dim V\).

Ejercicio 4

Sea \(V=P_1[x]\) (polinomios de grado \le 1). Encontrar la base dual asociada a la base canónica \(\{1,x\}\) respecto a la evaluación en puntos \(0\) y \(1\).

Solución

Identificamos \(p\in P_1[x]\) con \(p(a+bx)=a+bx\) y escribimos una forma general como \(f(p)=\alpha a+\beta b\). Buscamos \(f_1,f_2\) tales que

\[f_1(1)=1,\ f_1(x)=0;\qquad f_2(1)=0,\ f_2(x)=1.\]

Para \(f_1\) se tiene \(\alpha=1,\beta=0\), es decir \(f_1(p)=a\) (extrae el coeficiente constante). Para \(f_2\): \(\alpha=0,\beta=1\), es decir \(f_2(p)=b\) (extrae el coeficiente de \(x\)).

En términos de evaluaciones en puntos, \(f_1(p)=p(0)\) coincide con la primera forma; la segunda puede expresarse como \(f_2(p)=p(1)-p(0)\) cuando se trabaja con valores en puntos, pero la forma más directa es tomar las proyecciones sobre las coordenadas: \(f_1(a+bx)=a\), \(f_2(a+bx)=b\).

Ejercicio 5

Si \(B\) cambia a \(\tilde B\) mediante \(P\), ¿cómo cambian las formas duales?

Solución

Si \(P\) es la matriz de paso cuyas columnas son las coordenadas de \(\tilde B\) en la base \(B\), y si una forma tiene coordenadas columna \([\phi]_B\) en la base dual de \(B\), entonces sus coordenadas en la base dual de \(\tilde B\) vienen dadas por

\[[\phi]_{\tilde B}=(P^{-1})^{T}[\phi]_B.\]

En palabras: las formas duales se transforman mediante la inversa transpuesta de la matriz de cambio de base (esto equivale a multiplicar por \(P^{-1}\) si se usan filas en lugar de columnas, según la convención de notación utilizada).