UD3 — Examen tipo test (Quiz)

Estimación: 55–60 minutos. Material: ninguno. Justifica mentalmente, pero responde marcando la opción correcta.

Instrucciones

• Lee con calma cada pregunta.
• En preguntas de cálculo, elige el resultado correcto (no hace falta escribir el desarrollo).
• Cada pregunta vale lo mismo (salvo que tu profesor indique otra cosa).

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Parte A — Conceptos y linealidad

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Pregunta 1

¿Cuál de las siguientes condiciones caracteriza a una aplicación lineal \(T:V\to W\)?

\(T(u\cdot v)=T(u)\cdot T(v)\)

\(T(u+v)=T(u)+T(v)\) y \(T(\alpha u)=\alpha T(u)\)

\(T(u+v)=T(u)\,T(v)\)

\(T(u)=u\) para todo \(u\)

La linealidad se define por aditividad y homogeneidad. Los “productos” no forman parte de la definición.

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Pregunta 2

Sea \(S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(S(x,y)=(x+1,y)\). ¿Es lineal?

Sí, porque es de la forma \(Ax\)

No, porque \(S(0,0)\neq (0,0)\)

Sí, porque preserva sumas

Depende de la base

Si fuera lineal debería cumplirse \(S(0)=0\). Pero \(S(0,0)=(1,0)\).

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Pregunta 3

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) dada por \(T(x,y,z)=(x+2y-z,\,3x+y+z)\). ¿Cuál es el tamaño de la matriz asociada en bases canónicas?

\(3\times 3\)

\(2\times 3\)

\(3\times 2\)

\(2\times 2\)

De \(\mathbb{R}^3\) a \(\mathbb{R}^2\) la matriz es \(2\times 3\) (filas = dimensión del codominio, columnas = dimensión del dominio).

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Pregunta 4

Si \(T\) y \(S\) son lineales \(V\to W\), ¿cuál de las siguientes aplicaciones es siempre lineal?

\(U(v)=\|T(v)\|\)

\(U(v)=T(v)\cdot S(v)\)

\(U(v)=T(v)+S(v)\)

\(U(v)=T(v)+w_0\) con \(w_0\neq 0\) fijo

La suma de lineales es lineal. Norma, producto y traslación por vector fijo no lo son en general.

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Parte B — Núcleo, imagen y rango–nulidad

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Pregunta 5

Sea \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) lineal con \(\dim(\ker T)=2\). Entonces \(\dim(\operatorname{Im}T)\) es:

1

2

3

4

Por rango–nulidad: \(4 = \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=2+\dim(\operatorname{Im}T)\).

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Pregunta 6

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\2&0&4\end{pmatrix}\) y \(T(x)=Ax\) en \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\). ¿Qué afirmación es correcta?

Es isomorfismo porque \(\det(A)\neq 0\)

No es inyectiva ni sobreyectiva porque \(\operatorname{rg}(A)<3\)

Es inyectiva pero no sobreyectiva

Es sobreyectiva pero no inyectiva

La tercera fila es \(2\) veces la primera, así que el rango es menor que 3. En \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), rango menor que 3 implica no inyectiva y no sobreyectiva.

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Pregunta 7

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}\) y \(T(x)=Ax\) en \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\). ¿Cuál es una base de \(\ker(T)\)?

\(\{(1,0,0)\}\)

\(\{(0,1,0)\}\)

\(\{(1,-1,1)\}\)

\(\{(1,1,-1)\}\)

Resolver \(Ax=0\) da \(x+y=0\) y \(y+z=0\) (la segunda ecuación es redundante), luego \((x,y,z)=t(1,-1,1)\).

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Pregunta 8

Para la matriz del ejercicio anterior, ¿cuál es una base de \(\operatorname{Im}(T)\)?

\(\{(1,2,0),(0,0,1)\}\)

\(\{(1,1,1)\}\)

\(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\)

\(\{(1,2,1)\}\)

Las columnas son \(c_1=(1,2,0),\ c_2=(1,2,1),\ c_3=(0,0,1)\) y se cumple \(c_2=c_1+c_3\), así que una base es \(\{c_1,c_3\}\).

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Pregunta 9

En \(\mathbb{R}^3\), sea \(T(x,y,z)=(x+y,\,y+z,\,x+z)\). ¿Cuál es \(\ker(T)\)?

\(\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}\)

\(\operatorname{span}\{(1,1,1)\}\)

\(\{0\}\)

\(\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}\)

El sistema \(x+y=0\), \(y+z=0\), \(x+z=0\) tiene la única solución \((0,0,0)\). Paso a paso:

• Imponemos \(T(x,y,z)=(0,0,0)\), es decir el sistema

[ \begin{cases} x+y=0\ y+z=0\ x+z=0 \end{cases} ]

• De \(x+y=0\) sigue \(x=-y\).
• De \(y+z=0\) sigue \(z=-y\).
• Sustituimos en \(x+z=0\): \((-y)+(-y)=0\Rightarrow -2y=0\Rightarrow y=0\).
• Entonces \(x=-y=0\) y \(z=-y=0\), por tanto la única solución es \((0,0,0)\).

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Parte C — Matriz asociada y cambios de base

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Pregunta 10

Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(T(x,y)=(x+2y,\,3x-y)\). ¿Cuál es su matriz en la base canónica?

\(\begin{pmatrix}1&3\\2&-1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1&2\\-3&1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}\)

Las columnas son \(T(e_1)=(1,3)\) y \(T(e_2)=(2,-1)\).

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Pregunta 11

Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) lineal con \(T(1,0,0)=(2,1)\), \(T(0,1,0)=(-1,0)\), \(T(0,0,1)=(3,-2)\). Entonces \(T(4,-1,2)\) vale:

\((9,1)\)

\((15,0)\)

\((15,-1)\)

\((0,15)\)

Usa linealidad: \(T(4,-1,2)=4T(e_1)-T(e_2)+2T(e_3)=4(2,1)-(-1,0)+2(3,-2)=(15,0)\).

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Pregunta 12

Para \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) con matriz \(A\) (en bases canónicas), ¿qué condición equivale a que \(T\) sea un isomorfismo?

\(\operatorname{rg}(A)=0\)

\(\det(A)=0\)

\(\ker(T)\neq\{0\}\)

\(\det(A)\neq 0\)

En dimensión finita, \(T\) es isomorfismo si y sólo si \(A\) es invertible, si y sólo si \(\det(A)\neq 0\).

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Parte D — Dual, anulador e interpolación

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Pregunta 13

En una base \(B=\{b_1,b_2,b_3\}\) y su base dual \(B^*=\{\varphi^1,\varphi^2,\varphi^3\}\), ¿cuánto vale \(\varphi^2(b_2)\)?

0

1

2

Depende de la base

Por definición de base dual: \(\varphi^i(b_j)=\delta_{ij}\).

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Pregunta 14

En \(\mathbb{R}^3\), sea \(U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}\). ¿Cuál es una base de \(U^0\)?

\(\{x+y+z\}\)

\(\{x-y\}\)

\(\{-x-y+z\}\)

\(\{x+z\}\)

Un funcional genérico es \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\). Exigir \(\varphi(1,0,1)=0\) y \(\varphi(0,1,1)=0\) da \(a+c=0\) y \(b+c=0\); tomando \(c=1\) resulta \(\varphi=-x-y+z\).

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Pregunta 15

Con 4 puntos con abscisas distintas, el polinomio interpolador único tiene grado como máximo:

1

2

3

4

Con \(n+1\) puntos (abscisas distintas) hay interpolación única de grado \(\le n\). Aquí \(n+1=4 \Rightarrow n=3\).

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