Inyectiva, Sobreyectiva e Isomorfismos

En esta página vemos las definiciones, criterios prácticos y relaciones entre estos conceptos usando núcleo, imagen y propiedades de matrices.

Definiciones y criterios

Inyectiva: \(\mathrm{Ker}(f)=\{0\}\).
Sobreyectiva: \(\mathrm{Im}(f)=V'\) (la imagen coincide con el codominio).
Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva (como función, tiene inversa).
Monomorfismo: morfismo que, en sentido categórico, corresponde a una aplicación "inyectiva"; en la categoría de espacios vectoriales equivale a \(\mathrm{Ker}(f)=\{0\}\).
Epimorfismo: morfismo que, en sentido categórico, corresponde a una aplicación "sobreyectiva"; en la categoría de espacios vectoriales equivale a \(\mathrm{Im}(f)=V'\).
Isomorfismo: aplicación lineal biyectiva; existe inversa lineal.

En particular, en la categoría de espacios vectoriales (Vect) los monomorfismos coinciden con las aplicaciones inyectivas y los epimorfismos con las aplicaciones sobreyectivas.

En términos de la matriz \(A\) (\(m\times n\)) con rango \(r\):

Inyectiva \(\Longleftrightarrow r=n\) (columnas independientes).
Sobreyectiva \(\Longleftrightarrow r=m\) (filas abren todo el codominio).
Isomorfismo (cuando \(m=n\)): \(\det(A)\neq 0\) (equivalente a \(r=n=m\)).

Ejercicios

Ejercicio 1

Comprobar que la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\) define un isomorfismo en \(\mathbb{R}^3\).

Solución

Calculamos \(\det(A)\) (expansión por la primera fila por ejemplo) y obtenemos \(\det(A)=1\neq0\). Por tanto \(A\) es invertible y \(f\) es isomorfismo.

Ejercicio 2

Sea \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) con matriz \(A\) de rango 2. ¿Puede \(f\) ser inyectiva? ¿Sobreyectiva?

Solución

Inyectiva: no, porque para inyectividad necesitaríamos \(r=n=3\), pero \(r=2\neq3\). Sobreyectiva: sí, porque \(r=m=2\).

Ejercicio 3

Demostrar que si \(f:V\to W\) es un isomorfismo entonces \(\dim V = \dim W\).

Solución

Como \(f\) es isomorfismo es biyectiva. Por el teorema de la dimensión aplicado a \(f\) (o a su inversa), tanto la nulidad como el rango cumplen que \(\dim\mathrm{Ker}(f)=0\) y \(\dim\mathrm{Im}(f)=\dim W\). Como \(\dim V=0+\dim\mathrm{Im}(f)=\dim W\).

Ejercicio 4

La matriz \(B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) define ¿una aplicación inyectiva, sobreyectiva o ninguna?

Solución

Observamos que la segunda columna es 2 veces la primera; por tanto las columnas son dependientes y \(r=1\). Como \(n=2\), no es inyectiva; como \(m=2\) y \(r=1\neq2\), no es sobreyectiva tampoco.

Ejercicio 5

Sea \(A\) cuadrada \(n\times n\) con \(\det(A)=0\). Explica por qué \(A\) no es isomorfismo.

Solución

\(\det(A)=0\) implica que \(A\) no es invertible, por tanto no existe matriz inversa y la aplicación lineal asociada no es biyectiva (tiene núcleo no trivial). Luego no es isomorfismo.

Resumen

Término	Condición	Resultado
Inyectiva	\(\mathrm{Ker}(f)=\{0\}\)	No hay dos vectores distintos que tengan la misma imagen.
Sobreyectiva	\(\mathrm{Im}(f)=V'\)	La aplicación cubre todo el codominio.
Biyectivo	Inyectiva y sobreyectiva	Como función, tiene inversa.
Monomorfismo	Inyectiva	En Vect., equivale a \(\mathrm{Ker}(f)=\{0\}\).
Epimorfismo	Sobreyectiva	En Vect., equivale a \(\mathrm{Im}(f)=V'\).
Isomorfismo	Inyectiva y sobreyectiva	Existe una inversa lineal; espacios isomorfos.