Matriz Asociada a una Aplicación Lineal

Explicamos cómo construir la matriz de una aplicación lineal una vez que se han fijado bases en el dominio y codominio. Mostramos ejemplos con cambios de base y cómo usar la matriz para calcular imágenes y núcleos.

Regla clave

Si \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) es una base de \(V\) y \(B'=\{w_1,\dots,w_m\}\) es una base de \(W\), la matriz \(A=M(f)_{B,B'}\) tiene por columnas las coordenadas de \(f(v_j)\) respecto a \(B'\).

Ecuación matricial:

\[[f(x)]_{B'} = A\,[x]_B\]

Construcción práctica

Evaluar \(f\) en cada vector de la base del dominio.
Expresar cada \(f(v_j)\) en coordenadas de la base del codominio.
Colocar esas coordenadas como columnas de \(A\).

Ejercicios

Ejercicio 1

Sea

\[f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\; f(x,y)=(x+y,\;2x-y,\;y).\]

Con \(B_U=\{(1,0),(1,1)\}\) en el dominio y base canónica en el codominio, calcular \(A=M(f)_{B_U,B_V}\).

Solución

Ya en el resumen: \(f(1,0)=(1,2,0)\) y \(f(1,1)=(2,1,1)\). Colocando como columnas:

\[A=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}.\]

Ejercicio 2

Dada la matriz \(A\) en bases canónicas, ¿cómo calculas la imagen de \((x,y,z)\)?

Solución

Multiplica \(A\) por el vector columna \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\): \(A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) y obtendrás las coordenadas de \(f(x,y,z)\) en la base canónica del codominio.

Ejercicio 3

Si \(P\) es la matriz de paso de la base \(B\) a la base canónica, ¿qué relación existe entre la matriz cuyas filas son las formas de la base dual y \(P\)?

Solución

Si las formas duales tienen coeficientes que forman las filas de una matriz \(M\), entonces \(M=P^{-1}\). Es decir, \(P^{-1}\) tiene como filas los coeficientes de las formas duales respecto a la base canónica.

Ejercicio 4

Dado \(f\) con matriz \(A_{B,B'}\), encontrar la matriz \([f]_{\tilde B,\tilde B'}\) si se hacen cambios de base con matrices \(P\) y \(Q\).

Solución

Fórmula de cambio de base:

\[[f]_{\tilde B,\tilde B'} = Q^{-1} A P\]

donde \(P\) transforma coordenadas de \(\tilde B\) a \(B\) y \(Q\) transforma de \(\tilde B'\) a \(B'\).

Ejercicio 5

Construir una matriz \(A\) cuya imagen sea el subespacio generado por \((1,0,0)\) y \((0,1,0)\) en \(\mathbb{R}^3\).

Solución

Una matriz con rango 2 y cuyas columnas estén en el plano \(z=0\), por ejemplo:

\[A=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\]

(completa con columnas adicionales si la dimensión del dominio es mayor).

Resumen

Término	Fórmula	Observación
Matriz asociada	\([f(x)]_{B'} = A\,[x]_B\)	Columnas = \([f(v_j)]_{B'}\).