Núcleo e Imagen

En esta página ampliamos las definiciones y la intuición sobre el núcleo (ker) y la imagen (im) de una aplicación lineal, y presentamos el Teorema de la Dimensión (también conocido como Teorema Rango–Nulidad) con un esbozo de demostración y ejemplos prácticos.

1. Núcleo (Ker(f)) — Nulidad

Definición: dado $f:\;V\to V'$ lineal,

\[ {\displaystyle \ker(f)=\{v\in V\mid f(v)=0_{V'}\}} \]

Intuición: el núcleo recoge todos los vectores del espacio de partida que la aplicación anula; son las direcciones que se colapsan hasta el vector cero en el codominio. Geométricamente, el núcleo es un subespacio de $V$ que mide cuánta información del dominio se pierde al aplicar $f$.

Propiedades importantes:

$\ker(f)$ es un subespacio de $V$.
La dimensión de $\ker(f)$ se llama nulidad de $f$, y se denota $\mathrm{nul}(f)$ o $\dim\ker(f)$.
Si $\ker(f)=\{0\}$ entonces $f$ es inyectiva (no hay vectores distintos que se envíen al mismo valor).

Cómo calcularla (práctico): si $A$ es la matriz de $f$ respecto a bases fijas, entonces

\[\ker(f)=\{x\in K^n\mid Ax=0\}\]

se obtiene resolviendo el sistema homogéneo Ax = 0 (el espacio de soluciones).

¿Qué es x en Ax = 0?

x es un vector columna de incógnitas; si A es una matriz de tamaño m×n, entonces x pertenece a K^n (por ejemplo $\mathbb{R}^n$ si trabajamos sobre los reales). Un ejemplo de vector columna es $x=(x_1,\dots,x_n)^T$.
Algebraicamente, Ax = 0 significa que la combinación lineal de las columnas de A con coeficientes $x_i$ es el vector nulo: $Ax=x_1c_1+\dots+x_nc_n=0$. Por tanto las soluciones x son las relaciones lineales entre las columnas de A.
El conjunto de todas las soluciones forma el núcleo (ker) de la aplicación asociada y su dimensión es la nulidad.
Mini-ejemplo: para la transformación del documento $f(x,y,z)=(x+y,y-z)$ la matriz asociada actúa sobre $x=(x,y,z)^T$. Resolver $Ax=0$ lleva a la solución paramétrica $x=t(-1,1,1)$, es decir todos los vectores del núcleo son múltiplos de $(-1,1,1)^T$.

2. Imagen (Im(f)) — Rango

Definición: la imagen de $f$ es el subconjunto del codominio formado por los valores alcanzados por la aplicación:

\[ {\displaystyle \operatorname{Im}(f)=\{f(v)\in V'\mid v\in V\}} \]

Intuición: la imagen es el subespacio del codominio que realmente se alcanza. Si pensamos en $f$ como una transformación, la imagen describe el espacio de resultados posibles.

Propiedades importantes:

$\operatorname{Im}(f)$ es un subespacio de $V'$.
La dimensión de $\operatorname{Im}(f)$ se llama rango de $f$, y se denota $\mathrm{rg}(f)$ o $\dim\operatorname{Im}(f)$.
Para calcularla con una matriz $A$ asociada, la imagen coincide con el espacio generado por las columnas de $A** (el llamado "espacio columna"). Una base de la imagen puede obtenerse seleccionando las columnas pivote tras reducir $A$.

Observación práctica: si $\{v_1,\dots,v_n\}$ genera V, entonces $\{f(v_1),\dots,f(v_n)\}$ genera $\operatorname{Im}(f)$; en particular, las imágenes de una base de V generan la imagen (aunque no siempre serán linealmente independientes).

3. Teorema de la Dimensión (Rango–Nulidad)

Enunciado: si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita y $f:V\to V'$ es lineal, entonces

\[\boxed{\;\dim V = \dim\ker(f) + \dim\operatorname{Im}(f)\;}\]

Equivalencias y nombres: $\dim\operatorname{Im}(f)$ es el rango (o rango de la matriz asociada) y $\dim\ker(f)$ es la nulidad.

Esbozo de demostración:

Sea $k=\dim\ker(f)$ y elijamos una base $\{u_1,\dots,u_k\}$ de $\ker(f)$.
Extendamos esa base a una base de V completándola con vectores $\{u\_{k+1},\dots,u_n\}$, de modo que

\[\{u_1,\dots,u_k,u_{k+1},\dots,u_n\}\]

sea base de V. Entonces $n=\dim V$.

Consideremos las imágenes $f(u\_{k+1}),\dots,f(u_n)$. Estas imágenes generan $\operatorname{Im}(f)$ y son linealmente independientes; por tanto forman una base de $\operatorname{Im}(f)$ y su número es $\dim\operatorname{Im}(f)=n-k$.
De aquí se obtiene $\dim V = k + (n-k)=\dim\ker(f)+\dim\operatorname{Im}(f)$.

Consecuencias inmediatas:

Si $\dim\ker(f)=0$ entonces (f) es inyectiva.
Si $\dim\operatorname{Im}(f)=\dim V'$ (rango máximo) entonces $f$ es sobreyectiva.
Para una matriz A de tamaño m×n: $\mathrm{rg}(A)\le\min(m,n)$ y $\mathrm{nul}(A)=n-\mathrm{rg}(A)$.

4. Métodos prácticos con matrices

Para hallar la nulidad: construir la matriz $A$ de $f$ y resolver $Ax=0$ por eliminación gaussiana; la dimensión del espacio solución es la nulidad.
Para hallar el rango: reducir $A$ a forma escalonada por filas; el número de columnas pivote es el rango. Alternativamente, tomar las columnas y extraer una base mediante eliminación de columnas dependientes.

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (comprobación de rango–nulidad)

Sea $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad f(x,y,z)=(x+y,\; y-z).$

Para el núcleo resolvemos.

\[\begin{cases}x+y=0\\y-z=0\end{cases}\Rightarrow y=z,\; x=-y=-z\]

Por tanto.

\[\ker(f)=\{(-t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\langle(-1,1,1)\rangle\]

y $\dim\ker(f)=1$.
Para la imagen, las columnas de la matriz asociada son.

\[f(1,0,0)=(1,0),\; f(0,1,0)=(1,1),\; f(0,0,1)=(0,-1).\]

Para ver por qué hay dos vectores linealmente independientes, escribimos las columnas como matriz de 2×3:

\[A=\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]0&1&-1\end{pmatrix}\]

cuyas columnas son $c_1=(1,0),\;c_2=(1,1),\;c_3=(0,-1)$.

Observaciones rápidas:

La matriz ya está en forma escalonada por filas: pivotes en las columnas 1 y 2. Por tanto el número de pivotes (el rango) es 2.
Alternativamente, comprobar independencia de $c_1$ y $c_2$:
si $\alpha c_1+\beta c_2=0$ entonces $(\alpha+\beta,\;\beta)=(0,0)$, de donde $\beta=0$ y $\alpha=0$. Así $c_1$ y $c_2$ son LI.

Conclusión: hay dos columnas LI, $\dim\operatorname{Im}(f)=2$, y puesto que el codominio es $\mathbb{R}^2$, $\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^2$.

Compruebe el teorema: $\dim\mathbb{R}^3=3=\dim\ker(f)+\dim\operatorname{Im}(f)=1+2$.

Ejemplo 2 (matriz numérica)

Sea.

\[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&1&1\\[4pt]2&5&8\end{pmatrix}\]

Aplicamos eliminación por filas:

R3 ← R3 − 2·R1:

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&1&1\\[4pt]0&1&2\end{pmatrix}.\]

R3 ← R3 − R2:

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&1&1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.\]

La forma escalonada muestra pivotes en las columnas 1, 2 y 3, por tanto

rango: $\mathrm{rg}(A)=3$,
como $A$ es $3\times3$ con rango máximo, es invertible.

Resolver $Ax=0$ da solo la solución trivial $x=0$, así que

nulidad: $\mathrm{nul}(A)=0$,
$\ker(A)=\{0\}$.

La imagen es todo $\mathbb{R}^3$; una base natural de $\operatorname{Im}(A)$ son las columnas de $A$:

\[\operatorname{Im}(A)=\langle(1,0,2)^T,\,(2,1,5)^T,\,(3,1,8)^T\rangle=\mathbb{R}^3.\]

Comprobación del teorema de la dimensión:

\[\dim\mathbb{R}^3=3=\dim\ker(A)+\dim\operatorname{Im}(A)=0+3.\]

Ejercicios

Ejercicio 1 — Fácil

Definición: Sea $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ definida por $f(x,y)=(x,0)$. Calcular $\ker(f)$ y $\operatorname{Im}(f)$.

Resultado

Paso 1: Escribir la matriz asociada respecto a la base canónica:

$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, porque $f(1,0)=(1,0)$ y $f(0,1)=(0,0)$.

Paso 2: Resolver $Ax=0$. Si $x=(x_1,x_2)^T$, entonces

$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow x_1=0$.

Paso 3: Concluir:

$\ker(f)=\{(0,x_2)\mid x_2\in\mathbb{R}\}=\langle(0,1)\rangle$.
$\operatorname{Im}(f)=\langle(1,0)\rangle$ (las imágenes generan la recta en el eje x).

Dimensiones: $\dim\ker(f)=1$, $\dim\operatorname{Im}(f)=1$. Verificación: $2=1+1$.

Ejercicio 2 — Intermedio (del documento)

Definición: Sea $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$, $f(x,y,z)=(x+y,\;y-z)$. Calcular $\ker(f)$ y $\operatorname{Im}(f)$.

Resultado

Paso 1: Escribir el sistema homogéneo:

$\begin{cases}x+y=0\\y-z=0\end{cases}$.

Paso 2: Resolver: de la segunda ecuación $y=z$. Sustituyendo en la primera $x=-y=-z$.

Paso 3: Parametrizar con $t=z$: $x=(-t,t,t)=t(-1,1,1)$.

Concluir:

$\ker(f)=\langle(-1,1,1)\rangle$, $\dim\ker(f)=1$.
Para la imagen, las columnas (imágenes de la base) son $(1,0),(1,1),(0,-1)$. Dos de ellas son independientes, por tanto $\dim\operatorname{Im}(f)=2$ y $\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^2$.

Verificación: $3=1+2$.

Ejercicio 3 — Intermedio/Avanzado

Definición: Sea $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\2&5&8\end{pmatrix}$ (matriz 3×3). Calcular una base de $\ker(A)$ y de $\operatorname{Im}(A)$, y las dimensiones (rango y nulidad).

Resultado

Paso 1: Reducir A por filas (el objetivo es obtener forma escalonada).

R1 = (1 2 3)
R2 = (0 1 1)
R3 = (2 5 8) -> R3 - 2·R1 = (0 1 2)

Tras operación: R3' = R3 - 2·R1 = (0,1,2).

R3' - R2 = (0,0,1).

Podemos llevar a una escalonada clara (resumen): existen pivotes en columnas 1 y 2 (y posiblemente 3 dependiendo de pasos), el procedimiento muestra que hay 2 pivotes.

Paso 2: Determinar variables libres. Si hay 2 pivotes, tenemos 1 variable libre (n=3 -> nulidad = 1).

Paso 3: Resolver $Ax=0$ (esquema): de la reducción se obtiene la relación $x_3 = t$, $x_2 = -t$, $x_1 = -t$ (este patrón coincide con el ejemplo trabajado antes), por tanto

$\ker(A)=\langle(-1,-1,1)\rangle$.

Paso 4: Imagen: las columnas pivote (primera y segunda tras reducción) generan la imagen; por tanto $\dim\operatorname{Im}(A)=2$ y un conjunto generador puede tomarse como las dos primeras columnas originales reducidas.

Comprobación: $3=1+2$.

Ejercicio 4 — Avanzado

Definición: Sea $A:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ dada por la matriz

$A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&-1&2\\1&1&1&3\end{pmatrix}$.

Calcular $\ker(A)$, $\operatorname{Im}(A)$, y verificar rango y nulidad.

Resultado

Paso 1: Reducir A por filas para identificar pivotes.

Empezamos con R1=(1 0 2 1), R2=(0 1 -1 2), R3=(1 1 1 3).
R3' = R3 - R1 = (0,1,-1,2) -> coincide con R2, por tanto R3' - R2 = 0.

Esto muestra que R3 es combinación de R1 y R2, de modo que hay pivotes en columnas 1 y 2 (al menos) y posiblemente en 3 o 4 según relaciones.

Paso 2: Conclusión parcial: rango = 2 (dos filas independientes), por tanto nulidad = n - rango = 4 - 2 = 2.

Paso 3: Resolver $Ax=0$: las variables libres serán dos (por ejemplo $x_3=t, x_4=s$).

De R2: $x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \Rightarrow x_2 = t - 2s$.
De R1: $x_1 + 2x_3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = -2t - s$.

Parámetrizando con $t,s$:

$x = t(-2,1,1,0) + s(-1,-2,0,1)$.

Paso 4: Bases:

$\ker(A)=\langle(-2,1,1,0),\;(-1,-2,0,1)\rangle$.
$\operatorname{Im}(A)$ tiene dimensión 2 y una base puede tomarse de las columnas pivote (las columnas 1 y 2 originales): $ (1,0,1)^T, (0,1,1)^T $.

Verificación: $4=2+2$.

Ejercicio 5 — Reto

Definición: Sea $f:V\to W$ lineal con $\dim V=5$. Se sabe que $\dim\ker(f)=2$. Responde:

a) ¿Cuál es $\dim\operatorname{Im}(f)$?

b) Si además $W\cong\mathbb{R}^3$, ¿puede f ser sobreyectiva? Justifica.

Resultado

a) Por el teorema rango–nulidad: $\dim V = \dim\ker(f) + \dim\operatorname{Im}(f)$. Entonces

$5 = 2 + \dim\operatorname{Im}(f) \Rightarrow \dim\operatorname{Im}(f) = 3$.

b) Si $W\cong\mathbb{R}^3$ y $\dim\operatorname{Im}(f)=3$, entonces $\operatorname{Im}(f)=W$ y $f$ es sobreyectiva (rango máximo igual a la dimensión de $W$). Por tanto sí, $f$ puede ser sobreyectiva y en este caso lo es.

Tabla resumen final

Término	Símbolo	Definición breve	Cómo calcular (práctico)	Fórmula / dimensión
Núcleo	$\ker(f)$	Conjunto de vectores del dominio que se envían al cero del codominio.	Resolver el sistema homogéneo `Ax = 0` (el espacio de soluciones).	Nulidad = $\dim\ker(f)$
Imagen	$\operatorname{Im}(f)$	Subespacio del codominio formado por los valores alcanzados por `f`.	Tomar las columnas de `A` y extraer una base (columnas pivote).	Rango = $\dim\operatorname{Im}(f)$
Rango	$\mathrm{rg}(f)$	Dimensión de la imagen; número de columnas independientes.	Número de columnas pivote tras reducción por filas.	$\mathrm{rg}(f)\le\min(m,n)$
Nulidad	$\mathrm{nul}(f)$	Dimensión del núcleo; número de grados de libertad en las soluciones de `Ax=0`.	Número de variables libres al resolver `Ax=0`.	$\mathrm{nul}(f)=n-\mathrm{rg}(A)$
Teorema Rango–Nulidad		Relaciona dimensión del dominio con rango y nulidad.	Verificar con ejemplos (reducción de matrices y cálculo de dimensiones).	$\dim V = \dim\ker(f) + \dim\operatorname{Im}(f)$

Término	Símbolo	Definición breve	Cómo calcular (práctico)	Fórmula / dimensión
Núcleo	\(\ker(f)\)	Conjunto de vectores del dominio que se envían al cero del codominio.	Resolver el sistema homogéneo `Ax = 0` (el espacio de soluciones).	Nulidad = \(\dim\ker(f)\)
Imagen	\(\operatorname{Im}(f)\)	Subespacio del codominio formado por los valores alcanzados por `f`.	Tomar las columnas de `A` y extraer una base (columnas pivote).	Rango = \(\dim\operatorname{Im}(f)\)
Rango	\(\mathrm{rg}(f)\)	Dimensión de la imagen; número de columnas independientes.	Número de columnas pivote tras reducción por filas.	\(\mathrm{rg}(f)\le\min(m,n)\)
Nulidad	\(\mathrm{nul}(f)\)	Dimensión del núcleo; número de grados de libertad en las soluciones de `Ax=0`.	Número de variables libres al resolver `Ax=0`.	\(\mathrm{nul}(f)=n-\mathrm{rg}(A)\)
Teorema Rango–Nulidad		Relaciona dimensión del dominio con rango y nulidad.	Verificar con ejemplos (reducción de matrices y cálculo de dimensiones).	\(\dim V = \dim\ker(f) + \dim\operatorname{Im}(f)\)