Resumen Visual — UD3: Aplicaciones Lineales

🎯 Objetivo de la Unidad

Comprender las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, sus propiedades fundamentales (núcleo e imagen), representación matricial, isomorfismos y el concepto de espacio dual.

📊 Mapa Conceptual

graph LR
    A[Aplicaciones Lineales] --> B[Definición y Propiedades]
    A --> C[Núcleo e Imagen]
    A --> D[Tipos de Aplicaciones]
    A --> E[Representación]
    A --> F[Espacio Dual]

    B --> B1[f αu+βv = αf u + βf v]
    B --> B2[f 0 = 0]

    C --> C1[Ker f]
    C --> C2[Im f]
    C --> C3[Teorema Dimensión]

    C1 --> C1A[dim Ker f = nulidad]
    C2 --> C2A[dim Im f = rango]
    C3 --> C3A[dim V = dim Ker + dim Im]

    D --> D1[Inyectiva: Ker = 0]
    D --> D2[Sobreyectiva: Im = V']
    D --> D3[Isomorfismo: ambas]

    E --> E1[Matriz Asociada]
    E --> E2[Y = AX]

    F --> F1[Espacio Dual V*]
    F --> F2[Base Dual]
    F --> F3[Anulador]

📐 Conceptos Fundamentales

Aplicación Lineal

Una función \(f: V \to V'\) es lineal si conserva combinaciones lineales:

\[ f(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = a f(\mathbf{u}) + b f(\mathbf{v}) \]

✨ Verificación rápida

Si \(f(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}\), entonces \(f\) NO es lineal.

🔍 Núcleo e Imagen

Tabla Comparativa

Concepto	Definición	Subespacio de	Dimensión
Núcleo (Ker)	\(\\{\mathbf{x} \in V : f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\\}\)	Dominio \(V\)	Nulidad
Imagen (Im)	\(\\{f(\mathbf{x}) : \mathbf{x} \in V\\}\)	Codominio \(V'\)	Rango

Teorema de la Dimensión

\[ \dim(V) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f)) \]

Interpretación: La dimensión del dominio se reparte entre vectores que "se pierden" (núcleo) y vectores que "se alcanzan" (imagen).

🔄 Árbol de Decisión: Tipos de Aplicaciones

graph LR
    A{Analizar f} --> B{¿Ker f = 0 ?}
    B -->|Sí| C[INYECTIVA<br/>Monomorfismo]
    B -->|No| D[NO Inyectiva]

    A --> E{¿Im f = V' ?}
    E -->|Sí| F[SOBREYECTIVA<br/>Epimorfismo]
    E -->|No| G[NO Sobreyectiva]

    C --> H{¿También sobreyectiva?}
    F --> I{¿También inyectiva?}

    H -->|Sí| J[✅ ISOMORFISMO]
    I -->|Sí| J

    style J fill:#e1ffe1
    style D fill:#ffe1e1
    style G fill:#ffe1e1

📊 Clasificación de Aplicaciones Lineales

Tipo	Condición Núcleo	Condición Imagen	Condición Matriz	Nombre
Inyectiva	\(\text{Ker}(f) = \\{\mathbf{0}\\}\)	-	\(\text{rg}(A) = n\) (columnas)	Monomorfismo
Sobreyectiva	-	\(\text{Im}(f) = V'\)	\(\text{rg}(A) = m\) (filas)	Epimorfismo
Isomorfismo	\(\text{Ker}(f) = \\{\mathbf{0}\\}\)	\(\text{Im}(f) = V'\)	\(A\) cuadrada y \(\det(A) \neq 0\)	Isomorfismo

🎯 Cálculo de Núcleo e Imagen (Método)

Núcleo

graph LR
    A[Plantear f x = 0] --> B[Resolver sistema homogéneo]
    B --> C[Expresar solución paramétrica]
    C --> D[Base del Ker f]

    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#e1ffe1

Pasos:

Igualar \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\)
Resolver el sistema de ecuaciones
Expresar solución en forma paramétrica
Vectores libres = base del núcleo

Imagen

graph LR
    A[Aplicar f a base de V] --> B[Vectores imagen]
    B --> C[Eliminar dependientes]
    C --> D[Base de Im f]

    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#e1ffe1

Pasos:

Aplicar \(f\) a cada vector de la base de \(V\)
Obtener sistema de generadores
Reducir a base (eliminar linealmente dependientes)
\(\dim(\text{Im}) = \text{rg}(A)\)

🔢 Matriz Asociada

Fijadas bases \(B\) en \(V\) y \(B'\) en \(V'\), la matriz \(A\) asociada a \(f\) cumple:

\[ \mathbf{Y} = A \mathbf{X} \]

donde \(\mathbf{X} = [\mathbf{v}]_B\) y \(\mathbf{Y} = [f(\mathbf{v})]_{B'}\)

Construcción

Las columnas de \(A\) son las coordenadas de \(f(\mathbf{b}_i)\) en la base \(B'\):

\[ A = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [f(\mathbf{b}_1)]_{B'} & [f(\mathbf{b}_2)]_{B'} & \cdots & [f(\mathbf{b}_n)]_{B'} \\ | & | & & | \end{pmatrix} \]

🌟 Espacio Dual

Definición

El espacio dual \(V^*\) es el conjunto de todas las formas lineales \(f: V \to \mathbb{K}\).

\[ V^* = \text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, \mathbb{K}) \]

Propiedad: \(\dim(V^*) = \dim(V)\)

Base Dual

Dada base \(B = \\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\\}\) de \(V\), la base dual \(B^* = \\{f_1, \ldots, f_n\\}\) cumple:

\[ f_i(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases} \]

Anulador

El anulador de un subespacio \(W \subseteq V\) es:

\[ W^0 = \\{f \in V^* : f(\mathbf{w}) = 0, \, \forall \mathbf{w} \in W\\} \]

Teorema de dimensión:

\[ \dim(W) + \dim(W^0) = \dim(V) \]

✅ Checklist de Ejercicios

Para verificar si f es lineal:

[ ] ¿\(f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\)?
[ ] ¿\(f(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{u}) + \beta f(\mathbf{v})\)?

Para calcular núcleo:

[ ] ¿He planteado \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\)?
[ ] ¿He resuelto el sistema homogéneo?
[ ] ¿He expresado la solución en forma paramétrica?
[ ] ¿Los parámetros libres generan la base?

Para calcular imagen:

[ ] ¿He aplicado \(f\) a todos los vectores de la base?
[ ] ¿He reducido el sistema de generadores a base?
[ ] ¿\(\dim(\text{Im}) = \text{rg}(A)\)?
[ ] ¿Se cumple el teorema de la dimensión?

Para matriz asociada:

[ ] ¿He identificado las bases de \(V\) y \(V'\)?
[ ] ¿He calculado \(f\) en cada vector de la base de \(V\)?
[ ] ¿He expresado cada imagen en coordenadas de \(B'\)?
[ ] ¿Las coordenadas forman las columnas de \(A\)?

💡 Errores Comunes

⚠️ Cuidado con estos errores

Confundir núcleo e imagen: Ker está en el dominio, Im en el codominio
Olvidar verificar \(f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\): Es la verificación más rápida
No reducir generadores a base: La imagen necesita base, no solo generadores
Confundir rango y nulidad: rg = dim(Im), nulidad = dim(Ker)
Matriz asociada incorrecta: Las columnas son las imágenes de la base, no la base misma

📝 Tabla Resumen de Fórmulas

Concepto	Fórmula	Significado
Linealidad	\(f(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{u}) + \beta f(\mathbf{v})\)	Conserva combinaciones lineales
Núcleo	\(\text{Ker}(f) = \\{\mathbf{x} \in V : f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\\}\)	Vectores que se "anulan"
Imagen	\(\text{Im}(f) = \\{f(\mathbf{x}) : \mathbf{x} \in V\\}\)	Vectores alcanzables
Teorema dimensión	\(\dim(V) = \dim(\text{Ker}) + \dim(\text{Im})\)	Reparto de dimensiones
Inyectiva	\(\text{Ker}(f) = \\{\mathbf{0}\\}\) ⟺ \(\text{rg}(A) = n\)	No colapsa vectores
Sobreyectiva	\(\text{Im}(f) = V'\) ⟺ \(\text{rg}(A) = m\)	Cubre todo el codominio
Isomorfismo	Inyectiva + Sobreyectiva ⟺ \(\det(A) \neq 0\)	Biyección lineal
Base dual	\(f_i(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}\)	Delta de Kronecker
Anulador	\(\dim(W) + \dim(W^0) = \dim(V)\)	Complemento en el dual