| Aplicación lineal |
\(f(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})=a f(\mathbf{u})+b f(\mathbf{v})\) |
Mapea vectores conservando sumas y escalares. "Suma y escala" se pueden aplicar antes o después. |
| Núcleo (Ker) |
\(\{x\in V\mid f(x)=0\}\) |
Vectores que se envían al cero. Piensa "los que desaparecen". |
| Imagen (Im) |
\(\{f(x)\mid x\in V\}\) |
Todos los vectores alcanzados por la aplicación. "Lo que se consigue". |
| Teorema de la dimensión |
\(\dim V=\dim\ker f + \dim\operatorname{Im} f\) |
Dimensión del dominio = nulidad + rango. Regla rápida para comprobar cuentas. |
| Inyectiva |
N/A |
Solo el vector cero está en el núcleo. "Sin colisiones". |
| Sobreyectiva |
N/A |
La imagen = codominio. "Cubre todo el destino". |
| Isomorfismo |
\(A\) cuadrada, \(\det(A)\neq 0\) |
Aplicación biyectiva; tiene inversa lineal. "Mismo espacio, misma dimensión". |
| Matriz asociada |
\(\mathbf{Y}=A\mathbf{X}\) |
Representa la aplicación según bases; columnas = imágenes de la base. "Tabla de transformación". |
| Espacio dual (\(V^*\)) |
\(\operatorname{Hom}(V,K)\) |
Todas las formas lineales \(V\to K\). "Los medidores escalares". |
| Base dual |
\(f_i(v_j)=\delta_{ij}\) |
Formas que seleccionan coordenadas: cada una vale 1 en su vector y 0 en los demás. |
| Anulador (\(W^0\)) |
\(\{f\in V^*\mid f(w)=0\ \forall w\in W\}\) |
Formas que anulan todo un subespacio. "Lo que manda todo a cero". |
| Polinomios de Lagrange |
N/A |
Polinomios que valen 1 en un punto y 0 en los otros; útiles para interpolar. |