Criterios y comprobaciones para diagonalizar

En esta página explicamos cómo comprobar si una matriz es diagonalizable y qué pasos seguir cuando hay raíces repetidas.

Pasos rápidos para comprobar diagonalización

Árbol de Decisión

graph TD
    A["Paso 1:<br/>Calcular polinomio característico<br/>p(x) = det(A - xI)"] --> B["Paso 2:<br/>Factorizar p(x)<br/>en R o C"]
    B --> C["¿Todos los autovalores<br/>son distintos?"]
    C -->|Sí| D["✅ ES DIAGONALIZABLE"]
    C -->|No| E["Paso 3:<br/>Para cada autovalor λ repetido:<br/>calcular mult. algebraica a(λ)<br/>y mult. geométrica d(λ)"]
    E --> F["¿Para todo λ se cumple<br/>d(λ) = a(λ)?"]
    F -->|Sí| G["✅ ES DIAGONALIZABLE"]
    F -->|No| H["❌ NO DIAGONALIZABLE<br/>Usar Forma de Jordan"]

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Procedimiento Detallado

Calcular el polinomio característico \(p_A(x)=\det(A-xI)\).
Factorizar \(p_A(x)\) en el cuerpo que estemos trabajando (ej. \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)).
Para cada autovalor \(\lambda\): calcular \(a_\lambda\) (multiplicidad algebraica) y \(d_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)\) (multiplicidad geométrica).
Si para todo \(\lambda\) se cumple \(d_\lambda=a_\lambda\), entonces \(A\) es diagonalizable.

Observaciones importantes

Si todos los autovalores son distintos (polinomio sin raíces repetidas), la matriz es diagonalizable.
Si existe un autovalor complejo pero trabajas en \(\mathbb{R}\), puede que no sea diagonalizable sobre \(\mathbb{R}\); debes pasar a \(\mathbb{C}\) si es necesario.
Si \(d_\lambda<a_\lambda\) para algún \(\lambda\), entonces no es diagonalizable; en ese caso estudia la forma de Jordan.

Ejemplos ilustrativos

Ejemplo 1: Matriz \(2\times2\) con raíces distintas

Sea \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}\) (ya visto en definiciones). Polinomio: \((x-1)(x-3)\), autovalores \(1\) y \(3\) (multiplicidad 1 cada uno). Por tanto diagonalizable.

Ejemplo 2: Raíz repetida y comprobación geométrica

Sea \(B=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\0 & 3 & 1\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\). Observa que

\[p_B(x)=(3-x)^3.\]

La multiplicidad algebraica de \(3\) es \(a_3=3\). Calculamos \(B-3I\) cuyo rango es 2 (verificando que la primera subdiagonal contiene ceros salvo la estructura superior triangular), luego

\[d_3 = 3 - \mathrm{rg}(B-3I) = 3-2=1.\]

Como \(d_3=1< a_3=3\), no es diagonalizable. Debemos usar Jordan.

Solución paso a paso

Dada \(B-3I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\), resolver \((B-3I)v=0\) da una sola dimensión para el espacio propio, por eso \(d_3=1\).