Definiciones — Unidad 4: Diagonalización
En esta página reunimos las definiciones y propiedades que necesitaremos a lo largo de la unidad.
- El subespacio propio (o espacio propio) asociado a \(\lambda\) es $\(V_\lambda=\{v\in K^n\mid (A-\lambda I)v=0\}=\ker(A-\lambda I).\)$
Polinomio característico y multiplicidades
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El polinomio característico de \(A\) es $\(p_A(x)=\det(A-xI).\)$ Los autovalores son las raíces de \(p_A(x)\).
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Multiplicidad algebraica (\(a_\lambda\)): la multiplicidad de \(\lambda\) como raíz de \(p_A(x)\).
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Multiplicidad geométrica (\(d_\lambda\)): la dimensión del espacio propio \(V_\lambda\), es decir $\(d_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)=n-\mathrm{rg}(A-\lambda I).\)$
Siempre se cumple \(1\le d_\lambda\le a_\lambda\).
Matrices semejantes y diagonalización
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Dos matrices \(A\) y \(B\) son semejantes si existe invertible \(P\) tal que \(B=P^{-1}AP\).
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Decimos que \(A\) es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir existe invertible \(P\) y una diagonal \(D\) tal que $\(A=PDP^{-1}.\)$
Criterio básico: \(A\) es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los espacios propios es \(n\), equival. si existe una base formada por autovectores de \(A\).
Propiedades útiles
- Si \(A\) es diagonalizable: \(A=PDP^{-1}\), entonces \(A^k=PD^kP^{-1}\) (fácil de computar).
- Si \(A\) es simétrica real (\(A^T=A\)) entonces es diagonalizable (teorema espectral).
Solución paso a paso
Sea \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}\). Calculamos su polinomio característico:
Por tanto los autovalores son \(1\) y \(3\), distintos, con multiplicidad algebraica 1 cada uno. Concluimos que \(A\) es diagonalizable (dos autovalores distintos en \(2\\times2\) implican diagonalizable).