Algoritmo paso a paso 2x2 — Diagonalización
Aquí mostramos un procedimiento claro y un ejemplo detallado con todos los cálculos.
Algoritmo general
- Calcular \(p_A(x)=\det(A-xI)\).
- Factorizar y obtener los autovalores \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\) con sus multiplicidades algebraicas \(a_i\).
- Para cada \(\lambda_i\) resolver \((A-\lambda_i I)v=0\) para obtener una base de \(V_{\lambda_i}\) y calcular \(d_i=\dim V_{\lambda_i}\).
- Si \(\sum_i d_i=n\), tomar una base formada por la unión de bases de cada \(V_{\lambda_i}\), ordenar vectores como columnas para obtener \(P\). Entonces $\(P^{-1}AP=D\)$ donde \(D\) es diagonal con los autovalores (repetidos según su multiplicidad algebraica) en la diagonal.
Ejemplo completo (2x2)
Diagonalicemos
\[A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}\]
1. Polinomio característico:
\[p_A(x)=\det\begin{pmatrix}2-x & 1\\1 & 2-x\end{pmatrix}=(2-x)^2-1=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\]
Autovalores: \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=3\) (distintos).
2. Para \(\lambda_1=1\):
\[\begin{align*}
(A-I)=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}\]
Resolver \((A-I)v=0\):
\[\begin{cases} v_1 + v_2 = 0 \newline v_1 + v_2 = 0 \end{cases}\]
Escogemos \(v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).
3. Para \(\lambda_2=3\):
\[\begin{align*}
(A-3I)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}.
\end{align*}\]
Resolver \((A-3I)v=0\):
\[\begin{cases} -v_1 + v_2 = 0 \newline v_1 - v_2 = 0 \end{cases}\]
Escogemos \(v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
4. Formamos la matriz \(P\) con columnas los autovectores:
\[P=\begin{pmatrix}1 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}\]
Comprobamos que \(P\) es invertible: \(\det(P)=1\cdot1 - (1)(-1)=2\neq0\).
5. Calculamos \(D=P^{-1}AP\) (dejaremos el cálculo de la inversa al lector o lo hacemos por método directo). El resultado es
\[D=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}\]
Solución paso a paso
Para comprobar, podemos calcular \(P^{-1}AP\) explicitando \(P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}\) y verificar la multiplicación, que da la diagonal con 1 y 3.