Ejercicios propuestos — Unidad 4

Problemas para practicar (sin solución inmediata). Intenta resolver cada uno y compáralo con los ejemplos resueltos.

1. Diagonalizar (si es posible) \(A=\begin{pmatrix}4 & -2\\1 & 1\end{pmatrix}\).
2. Para \(B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\), determina la forma de Jordan y construye una base de Jordan.
3. Sea \(C=\begin{pmatrix}0 & 1\\-2 & 3\end{pmatrix}\). Calcula \(p_C(x)\) y decide si es diagonalizable en \(\mathbb{R}\).
4. Dada \(D=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\), encuentra \(D^{10}\) usando su forma de Jordan.
5. (Examen) Sea \(E\) una matriz real \(3\times3\) con polinomio característico \((x-1)^2(x-2)\). Explica todas las posibilidades para las multiplicidades geométricas y en qué casos \(E\) es diagonalizable.

Pistas: para los problemas con raíces repetidas calcula \(\ker(A-\lambda I)\) y las potencias \(\ker(A-\lambda I)^2\) para construir cadenas generalizadas.