Ejercicios resueltos — Unidad 4

Aquí tienes una colección de ejercicios resueltos, pensados para cubrir casos típicos y trampas:

Ejercicio 1 (diagonalización, autovalores distintos)

Sea \(A=\begin{pmatrix}4 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}\). Diagonalizar si es posible.

Solución paso a paso

Polinomio característico:

\[p_A(x)=\det\begin{pmatrix}4-x & 1\\2 & 3-x\end{pmatrix}=(4-x)(3-x)-2= x^2-7x+10=(x-2)(x-5).\]

Autovalores: \(2\) y \(5\) (distintos) ⇒ diagonalizable.

Para \(\lambda=2\) resolvemos \((A-2I)v=0\):

\[(A-2I)=\begin{pmatrix}2 & 1\\2 & 1\end{pmatrix},\]

ecuaciones: \(2v_1+v_2=0\). Tomamos \(v^{(1)}=(1,-2)^T\).

Para \(\lambda=5\):

\[(A-5I)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\2 & -2\end{pmatrix},\]

ecuación: \(-v_1+v_2=0\). Tomamos \(v^{(2)}=(1,1)^T\).

Formamos \(P=\begin{pmatrix}1 & 1\\-2 & 1\end{pmatrix}\), \(D=\mathrm{diag}(2,5)\) y verificamos \(P^{-1}AP=D\).

Ejercicio 2 (multiplicidad repetida, comprobar geométrica)

Sea \(B=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\0 & 3 & 1\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\).

Solución paso a paso

Polinomio \(p_B(x)=(3-x)^3\) ⇒ \(a_3=3\). Calculamos \(B-3I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\). Resolver \((B-3I)v=0\) conduce a \(v_2=v_3=0\) y \(v_1\) libre ⇒ dimensión 1. Por tanto \(d_3=1<3\) → no diagonalizable.

Ejercicio 3 (matriz simétrica)

Sea \(C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 5\\3 & 5 & 6\end{pmatrix}\). Explica por qué es diagonalizable.

Solución paso a paso

\(C\) es simétrica (\(C^T=C\)), por el teorema espectral toda matriz simétrica real es diagonalizable por una matriz ortogonal. Por tanto existe \(Q\) ortogonal con \(Q^T C Q = D\) diagonal.

Ejercicio 4 (forma de Jordan 3x3, construir cadenas)

Sea \(D=\begin{pmatrix}5 & 1 & 0\\0 & 5 & 1\\0 & 0 & 5\end{pmatrix}\). Describe la forma de Jordan.

Solución paso a paso

Polinomio \((5-x)^3\), \(a_5=3\). \(D-5I\) tiene rango 2 ⇒ \(d_5=1\). La forma de Jordan tendrá un bloque de tamaño 3 (o dos+uno según dimensiones de \(E_i\)), y en este caso es un único bloque \(J_3(5)\).

Ejercicio 5 (calcular \(A^k\) usando diagonalización)

Sea \(A=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}\) (diagonal ya). Calcula \(A^{10}\).

Solución paso a paso

Si \(A=\mathrm{diag}(2,3)\) entonces \(A^{10}=\mathrm{diag}(2^{10},3^{10})\).

Ejercicio 6 (Eliminación Gauss — autovector 2x2)

Sea \(A=\begin{pmatrix}4 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}\) y queremos calcular un autovector para \(\lambda=2\) usando eliminación de Gauss.

Solución paso a paso (Gauss)

1) Planteamos \((A-2I)v=0\):

\[(A-2I)=\begin{pmatrix}2 & 1\\2 & 1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}.\]

2) Pasamos al sistema homogéneo asociado (matriz aumentada):

\[\left(\begin{array}{cc|c}2 & 1 & 0\\2 & 1 & 0\end{array}\right).\]

3) Aplicamos eliminación:

Fila2 <- Fila2 - Fila1:

\[\left(\begin{array}{cc|c}2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right).\]

4) Obtenemos la ecuación \(2v_1+v_2=0\Rightarrow v_2=-2v_1\). Tomamos \(v_1=1\) y

\[v=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.\]

5) Verificación: \(A v=2v\) se comprueba directamente.

Ejercicio 7 (Eliminación Gauss — autovectores 3x3 con multiplicidad)

Usamos la matriz

\[A=\begin{pmatrix}4 & 1 & 1\\1 & 4 & 1\\1 & 1 & 4\end{pmatrix}\]

y calculamos autovectores para \(\lambda=3\) (autovalor con multiplicidad algebraica 2) usando eliminación de Gauss.

Solución paso a paso (Gauss)

1) Planteamos \((A-3I)v=0\):

\[(A-3I)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}.\]

2) Matriz aumentada del sistema homogéneo:

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right).\]

3) Eliminación (pasos):

Fila2 <- Fila2 - Fila1 → (0,0,0|0)
Fila3 <- Fila3 - Fila1 → (0,0,0|0)

Queda:

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\]

4) La ecuación esencial es \(v_1+v_2+v_3=0\). Tomamos parámetros libres para dos variables, por ejemplo \(v_2=s\), \(v_3=t\) y

\[v_1=-s-t.\]

5) Dos vectores L.I. solución (elegidos fijando parámetros) son

\[v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\qquad v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}.\]

6) Verificación: comprobar que \(A v^{(1)}=3 v^{(1)}\) y \(A v^{(2)}=3 v^{(2)}\).