UD4 — Examen tipo test (Quiz)

Estimación: 35–45 minutos. Material: ninguno. Justifica mentalmente, pero responde marcando la opción correcta.

Instrucciones

• Lee con calma cada pregunta.
• En preguntas de cálculo, elige el resultado correcto (no hace falta escribir el desarrollo).
• Cada pregunta vale lo mismo.

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Parte A — Definiciones y criterios (teoría)

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Pregunta 1

¿Qué significa que una matriz \(A\in M_n(\mathbb{F})\) sea diagonalizable sobre \(\mathbb{F}\)?

Que \(A\) es simétrica

Que existe una base formada por vectores propios de \(A\)

Que \(A\) es triangular

Que \(A\) tiene \(n\) valores propios distintos

Equivalente: existe una matriz invertible \(P\) tal que \(P^{-1}AP\) es diagonal, es decir, \(\mathbb{F}^n\) tiene una base de autovectores.

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Pregunta 2

Si una matriz \(A\) tiene \(n\) valores propios (contando multiplicidad algebraica) distintos en un cuerpo, entonces:

\(A\) es diagonalizable

\(A\) no es diagonalizable

\(A\) tiene siempre forma de Jordan no trivial

Ninguna de las anteriores

Valores propios distintos garantizan independencia lineal de autovectores asociados, por tanto diagonalizable.

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Pregunta 3

El polinomio minimal \(m_A(x)\) de una matriz \(A\) sirve para:

Calcular el determinante únicamente

Dar la máxima potencia de cada factor \((x-\lambda)\) necesaria en la forma de Jordan

Hallar directamente la matriz de diagonalización

Establecer si \(A\) es simétrica

El polinomio minimal refleja la máxima longitud de cadenas de Jordan para cada valor propio.

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Parte B — Cálculo de autovalores y diagonalización (práctica)

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Pregunta 4

Sea \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\). ¿Cuáles son sus autovalores?

\(2\) y \(3\)

\(2\) y \(2\)

\(3\) y \(3\)

\(0\) y \(5\)

Autovalores: raíces de \(\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)\).

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Pregunta 5

Sea \(A=\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}\). ¿Es \(A\) diagonalizable?

No, porque la multiplicidad geométrica del autovalor \(4\) es 1 (solo un autovector independiente)

Sí, porque tiene una base de autovectores

No, porque tiene valores propios repetidos

Solo si cambiamos de cuerpo

Calculando \(A-4I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) las ecuaciones del espacio propio son \(y=0\) y \(z=0\), por tanto los autovectores asociados a \(4\) son de la forma \((x,0,0)\) (dimensión 1). Como la multiplicidad algebraica de \(4\) es 2 pero su multiplicidad geométrica es 1, no hay suficientes autovectores independientes y \(A\) no es diagonalizable (existe un bloque de Jordan de tamaño 2 asociado a \(4\)).

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Pregunta 6

Calcula el polinomio característico de \(B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\).

\((1-\lambda)^2(3-\lambda)\)

\((1-\lambda)^3\)

\((1-\lambda)(3-\lambda)^2\)

\((3-\lambda)^3\)

Determinante de \(B-\lambda I\) es \(\det(B-\lambda I)=(1-\lambda)^2(3-\lambda)\), por tanto el polinomio característico es \((1-\lambda)^2(3-\lambda)\).

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Pregunta 7

Si \(A\) tiene polinomio minimal \(m_A(x)=(x-2)^2(x-3)\), ¿es \(A\) diagonalizable?

Sí, siempre

No, no es diagonalizable (porque aparece cuadrado en el minimal)

Solo si \(\dim A=2\)

Solo si \(2\neq3\)

Presencia de \((x-2)^2\) en \(m_A\) indica cadena de Jordan de longitud >1, por tanto no diagonalizable.

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Parte C — Forma de Jordan y ejemplos (teoría + práctica)

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Pregunta 8

Una matriz en forma de Jordan asociada a valor propio \(\lambda\) y bloque de tamaño 3 tiene en la diagonal principal y superdiagonal:

Tres ceros en la superdiagonal

\(\lambda\) en la diagonal y ceros en la superdiagonal

\(\lambda\) en la diagonal y unos en la superdiagonal

\(\lambda\) en la diagonal y \(\lambda\) en la superdiagonal

Un bloque de Jordan \(J_3(\lambda)\) tiene \(\lambda\) en la diagonal y \(1\) en la superdiagonal inmediata.

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Pregunta 9

Si una matriz \(A\) tiene bloque de Jordan \(J_2(5)\) y otro \(J_1(5)\) (ambos con autovalor \(5\)), su multiplicidad algebraica es 3 y su multiplicidad geométrica es:

1

2

3

0

Geométrica = número de bloques de Jordan = 2.

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Parte D — Ejercicios de diagonalización y cálculo

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Pregunta 10

Diagonaliza (si es posible) la matriz \(C=\begin{pmatrix}0&1\\-2&3\end{pmatrix}\). ¿Cuál es el conjunto de autovalores?

\(\{0,3\}\)

\(\{-1,2\}\)

\(\{1,2\}\)

\(\{3,-2\}\)

Calculando \(\det(C-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)\).

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Pregunta 11

Sea \(D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\). ¿Cuál es la multiplicidad geométrica del autovalor \(2\)?

1

2

3

0

El espacio propio tiene dimensión igual al número de bloques de Jordan; aquí hay dos bloques (uno 2x2 y uno 1x1) implicando geométrica 2.

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Pregunta 12

Sea \(E=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\). ¿Cuál es su polinomio minimal?

\((x-1)\)

\((x-1)^2\)

\((x-1)^3\)

\((x-1)^4\)

La cadena de Jordan tiene tamaño 3 (superdiagonal no nula), por tanto minimal \((x-1)^3\).

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Parte E — Preguntas de reflexión corta (justifica mentalmente)

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Pregunta 13

¿Es toda matriz simétrica diagonalizable (sobre \(\mathbb{R}\))?

Sí, toda matriz simétrica real es diagonalizable por una matriz ortogonal

No, nunca

Solo si tiene valores propios distintos

Solo si es invertible

Teorema espectral: matrices simétricas reales son diagonalizables por ortogonal.

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Pregunta 14

¿Qué ventaja práctica tiene diagonalizar una matriz para computar potencias \(A^k\)?

Ninguna

Permite calcular \(A^k=P D^k P^{-1}\) donde \(D^k\) es trivial de obtener

Solo sirve para matrices 2x2

Solo si \(k\) es par

Diagonalizar convierte la potencia en elevar scalars en la diagonal.

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