Forma canónica de Jordan

Cuando una matriz no es diagonalizable estudiamos su forma de Jordan. Aquí se recogen definiciones, el procedimiento y ejemplos.

Definición y bloques de Jordan

• Un bloque de Jordan \(J_k(\lambda)\) de tamaño \(k\) es la matriz \(k\times k\) con \(\lambda\) en la diagonal, unos en la superdiagonal y ceros en el resto.

• La forma de Jordan \(J\) de una matriz \(A\) es una matriz en bloque diagonal compuesta por bloques de Jordan, tal que existe invertible \(P\) con \(A=PJP^{-1}\).

Subespacios propios generalizados

• Definimos \(E_i(\lambda)=\ker(A-\lambda I)^i\). Se obtiene una cadena creciente

\[E_1(\lambda)\subseteq E_2(\lambda)\subseteq \dots\]

que se estabiliza y nos permite construir cadenas de vectores generalizados para formar la base de Jordan.

Procedimiento resumido

1. Para cada \(\lambda\) calcular \(a_\lambda\) (alg.) y las dimensiones \(\dim E_i(\lambda)\) hasta que se estabilice.
2. Construir cadenas generalizadas de longitud igual al orden de los bloques.
3. Ordenar las cadenas para formar \(P\) y obtener \(J=P^{-1}AP\).

Ejemplo simple (bloque 2x2)

Sea

\[A=\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}.\]

El polinomio es \((2-x)^2\), con \(a_2=2\).

Calculamos \(A-2I=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\). Entonces \(\ker(A-2I)\) tiene dimensión 1 (vectores de la forma \((t,0)\)). Por tanto \(d_2=1<2\) y la matriz no es diagonalizable.

La forma de Jordan es ya

\[J=\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 2\end{pmatrix},\]

es decir un único bloque de Jordan \(J_2(2)\).

Solución paso a paso

Tomamos \(v_1\in\ker(A-2I)\), por ejemplo \(v_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\). Buscamos \(v_2\) tal que \((A-2I)v_2=v_1\). Si tomamos

\(v_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\),

entonces \((A-2I)v_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=v_1\). Con la cadena \((v_1,v_2)\) obtenemos la matriz \(P\) y la forma de Jordan indicada.