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Resumen Visual — UD4: Diagonalización y Valores Propios

🎯 Objetivo de la Unidad

Dominar el cálculo de autovalores y autovectores, comprender los criterios de diagonalización y aplicar la forma de Jordan cuando la diagonalización no es posible.

📊 Mapa Conceptual

graph LR
    A[Diagonalización] --> B[Autovalores]
    A --> C[Autovectores]
    A --> D[Polinomio Característico]
    A --> E[Criterios]
    A --> F[Forma de Jordan]

    B --> B1[Raíces de p x]
    B --> B2[Multiplicidad Algebraica]

    C --> C1[Subespacio Propio]
    C --> C2[Multiplicidad Geométrica]

    D --> D1[det A - λI = 0]
    D --> D2[Traza y Determinante]

    E --> E1[Todas raíces en K]
    E --> E2[ma = mg para cada λ]
    E --> E3[Matriz simétrica siempre]

    F --> F1[Bloques de Jordan]
    F --> F2[Subespacios Generalizados]

📐 Conceptos Fundamentales

Autovalor y Autovector

Para matriz \(A\) (o endomorfismo \(f\)):

\[ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
  • \(\lambda\): autovalor (eigenvalue)
  • \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\): autovector (eigenvector)

Interpretación: Al aplicar \(A\), el vector \(\mathbf{v}\) solo se escala por \(\lambda\) (no rota).

Subespacio Propio

\[ V_\lambda = \text{Ker}(A - \lambda I) = \\{\mathbf{v} : A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\\} \]

🔍 Polinomio Característico

\[ p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) \]

Para matrices \(2 \times 2\):

\[ p(\lambda) = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) \]

donde \(\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22}\) (suma de la diagonal).

✨ Propiedades útiles

  • Matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico
  • La traza y el determinante se conservan bajo semejanza
  • Grado del polinomio = dimensión de la matriz

📊 Multiplicidades

Tipo Definición Notación Propiedad
Algebraica Número de veces que \(\lambda\) es raíz de \(p(\lambda)\) \(a_i\) o \(m_a\) -
Geométrica \(\dim(V_\lambda) = n - \text{rg}(A - \lambda I)\) \(d_i\) o \(m_g\) \(1 \leq m_g \leq m_a\)

🔄 Árbol de Decisión: ¿Es Diagonalizable?

graph LR
    A{¿Matriz A?} --> B{¿Es simétrica?<br/>A^T = A}
    B -->|Sí| C[✅ SÍ diagonalizable<br/>Teorema Espectral]

    B -->|No| D{¿Todas raíces<br/>en K?}
    D -->|No| E[❌ NO diagonalizable]

    D -->|Sí| F{¿ma = mg<br/>para cada λ?}
    F -->|Sí| C
    F -->|No| G[❌ NO diagonalizable<br/>Usar Jordan]

    style C fill:#e1ffe1
    style E fill:#ffe1e1
    style G fill:#fff5e1

✅ Criterios de Diagonalización

Una matriz \(A\) (n×n) es diagonalizable ⟺

  1. Todas las raíces del polinomio característico están en \(\mathbb{K}\) (ej. son reales si trabajamos en \(\mathbb{R}\))
  2. Para cada autovalor \(\lambda_i\): \(m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)\)

Caso Especial: Matriz Simétrica

✨ Teorema Espectral

Si \(A^T = A\) (matriz simétrica real), entonces \(A\) es siempre diagonalizable.

No es necesario verificar multiplicidades.

🎯 Procedimiento de Diagonalización

graph LR
    A[Calcular p λ] --> B[Hallar autovalores]
    B --> C[Verificar criterios]
    C --> D[Calcular V_λ para cada λ]
    D --> E[Formar matriz P]
    E --> F[D = P⁻¹AP]

    style A fill:#e1f5ff
    style F fill:#e1ffe1

Paso a Paso

  1. Polinomio característico: \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)
  2. Autovalores: Resolver \(p(\lambda) = 0\)
  3. Multiplicidades algebraicas: Contar repeticiones de cada raíz
  4. Para cada \(\lambda_i\):
  5. Resolver \((A - \lambda_i I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
  6. Base de \(V_{\lambda_i}\) → autovectores
  7. \(m_g(\lambda_i) = \dim(V_{\lambda_i})\)
  8. Verificar: \(\sum m_g = n\)
  9. Construir \(P\): Columnas = autovectores (base de cada \(V_\lambda\))
  10. Matriz diagonal: \(D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)

Resultado: \(A = PDP^{-1}\) o \(D = P^{-1}AP\)

🧩 Forma de Jordan (cuando no es diagonalizable)

Si \(A\) no es diagonalizable, buscamos su forma de Jordan \(J\):

\[ A = PJP^{-1} \]

Bloque de Jordan

Para autovalor \(\lambda\) y tamaño \(k\):

\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}_{k \times k} \]

Propiedades:

  • Diagonal: autovalor \(\lambda\)
  • Superdiagonal: unos
  • Resto: ceros

Subespacios Propios Generalizados

\[ E_k(\lambda) = \text{Ker}((A - \lambda I)^k) \]

Forman cadena: \(E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_m = M(\lambda)\)

donde \(\dim(M(\lambda)) = m_a(\lambda)\)

📝 Tabla Resumen: Semejanza de Matrices

Concepto Definición Notación
Matrices semejantes \(B = P^{-1}AP\) para alguna \(P\) invertible \(A \sim B\)
Invariantes Se conservan bajo semejanza tr\((A)\), det\((A)\), \(p_A(\lambda)\)
Diagonalizable \(A \sim D\) (diagonal) \(A = PDP^{-1}\)
Forma de Jordan Más simple que \(A\) cuando no es diagonalizable \(A = PJP^{-1}\)

💡 Aplicaciones Prácticas

Cálculo de Potencias

Si \(A = PDP^{-1}\):

\[ A^k = PD^kP^{-1} \]

donde \(D^k = \text{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)\) es fácil de calcular.

Sucesiones Recurrentes (Fibonacci)

La matriz \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) diagonalizada da la fórmula de Fibonacci:

\[ F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \]

donde \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (número áureo) y \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\).

✅ Checklist de Ejercicios

Para calcular autovalores:

  • [ ] ¿He planteado \(\det(A - \lambda I) = 0\)?
  • [ ] ¿He desarrollado correctamente el determinante?
  • [ ] ¿He factorizado el polinomio característico?
  • [ ] ¿He identificado todas las raíces?

Para verificar diagonalización:

  • [ ] ¿Es matriz simétrica? → Automáticamente diagonalizable
  • [ ] ¿Todas las raíces están en \(\mathbb{K}\)?
  • [ ] Para cada \(\lambda\): ¿He calculado \(m_g = n - \text{rg}(A - \lambda I)\)?
  • [ ] ¿Se cumple \(m_g = m_a\) para todos los autovalores?
  • [ ] ¿\(\sum m_g = n\)?

Para construir matriz de paso:

  • [ ] ¿He calculado base de cada \(V_\lambda\)?
  • [ ] ¿Los autovectores son linealmente independientes?
  • [ ] ¿Las columnas de \(P\) están en el orden correcto?
  • [ ] ¿He verificado \(AP = PD\)?

💡 Errores Comunes

⚠️ Cuidado con estos errores

  • Confundir \(m_a\) y \(m_g\): Algebraica es del polinomio, geométrica es la dimensión del subespacio
  • Olvidar verificar criterios: No toda matriz con autovalores es diagonalizable
  • Matriz de paso incorrecta: Las columnas deben ser autovectores, no las filas
  • Orden incorrecto en \(D\) y \(P\): Los autovalores en \(D\) deben corresponder con las columnas de \(P\)
  • No verificar \(A^T = A\) primero: Ahorra mucho tiempo si la matriz es simétrica
  • Determinante en lugar de traza: \(p(\lambda) = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)\) (no al revés)

📝 Tabla Resumen de Fórmulas

Concepto Fórmula Observación
Autovalor/vector \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)
Polinomio característico \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) Grado = \(n\)
Subespacio propio \(V_\lambda = \text{Ker}(A - \lambda I)\) -
Multiplicidad geométrica \(m_g = n - \text{rg}(A - \lambda I)\) \(1 \leq m_g \leq m_a\)
Diagonalización \(A = PDP^{-1}\) \(P\) tiene autovectores como columnas
Potencias \(A^k = PD^kP^{-1}\) \(D^k\) es diagonal de \(\lambda_i^k\)
Traza (2×2) \(\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22}\) Para polinomio característico
Forma de Jordan \(A = PJP^{-1}\) Cuando no es diagonalizable

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