UD6: Combinatoria
✨ Objetivo
Dominar las técnicas fundamentales de conteo en combinatoria: entender qué son permutaciones, variaciones y combinaciones, cuándo y cómo usarlas, y ver por qué la diferencia entre "importa el orden" y "no importa el orden" es crítica.
🤔 ¿Qué es la combinatoria y por qué la estudiamos?
La combinatoria es el arte de contar sin enumerar. En lugar de listar todas las posibilidades, usamos fórmulas para calcular cuántas hay.
✨ Ejemplo motivador
Si tienes 49 números en la lotería y debes elegir 6, ¿cuántos boletos diferentes necesitas comprar para estar seguro de ganar? \({49\choose6} = 10.068.347\) boletos. Sin combinatoria, tendrías que escribir cada uno a mano; con combinatoria, una fórmula te da la respuesta en segundos.
Aplicaciones reales:
- Criptografía: ¿cuántas contraseñas posibles hay?
- Probabilidad: ¿cuál es la probabilidad de una mano de póker?
- Diseño: ¿cuántas configuraciones de un sistema existen?
- Logística: ¿de cuántas maneras se pueden ordenar elementos?
🎯 La pregunta decisiva: un árbol de decisión
Antes de aplicar cualquier fórmula, pregúntate en este orden:
---
config:
flowchart:
htmlLabels: true
theme: dark
---
flowchart TD
A["🎯 Problema de conteo"]
A --> B{"¿Usas TODOS<br/>los elementos?"}
B -->|SÍ| C{"¿Importa<br/>el orden?"}
B -->|NO| D{"¿Importa<br/>el orden?"}
C -->|SÍ| E{"¿Hay<br/>repetición?"}
C -->|NO| F["⚠️ Error: si usas<br/>todos, siempre importa<br/>algo"]
D -->|SÍ| G{"¿Hay<br/>repetición?"}
D -->|NO| H{"¿Hay<br/>repetición?"}
E -->|SÍ| I["<b>PERMUTACIÓN<br/>con repetición</b><br/>P<sub>n</sub><sup>n₁,n₂,...,nᵣ</sup><br/> $$\dfrac{n!}{\prod n_i!}$$"]
E -->|NO| J["<b>PERMUTACIÓN</b><br/>P<sub>n</sub><br/> $$n!$$ "]
G -->|SÍ| K["<b>VARIACIÓN<br/>con repetición</b><br/>VR<sub>n,k</sub><br/> $$n^k$$"]
G -->|NO| L["<b>VARIACIÓN</b><br/>V<sub>n,k</sub><br/> $$\dfrac{n!}{(n-k)!}$$"]
H -->|SÍ| M["<b>COMBINACIÓN<br/>con repetición</b><br/>CR<sub>n,k</sub><br/> $${n+k-1\choose k}$$"]
H -->|NO| N["<b>COMBINACIÓN</b><br/>C<sub>n,k</sub><br/> $${n\choose k}$$"]
classDef pregunta fill:#4a90e2,stroke:#2c5aa0,stroke-width:2px,color:#fff,font-weight:bold
classDef respuesta fill:#7ed321,stroke:#5fa314,stroke-width:2px,color:#000,font-weight:bold
classDef error fill:#d94040,stroke:#a01010,stroke-width:2px,color:#fff,font-weight:bold
classDef inicio fill:#f5a623,stroke:#c87f1a,stroke-width:2px,color:#fff,font-weight:bold
class B,C,D,E,G,H pregunta
class I,J,K,L,M,N respuesta
class F error
class A inicioEste árbol te guiará a la fórmula correcta. Veamos cada rama.
📋 Tabla resumen conceptual
| Concepto | ¿Usas todos los elementos? | ¿Importa el orden? | ¿Hay repetición? | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|---|---|---|
| Permutación | Sí | Sí | No | \(P_n = n!\) | Ordenes de 5 personas en una fila |
| Permutación con repetición | Sí | Sí | Sí | \(P_n^{n_1,\dots}=\dfrac{n!}{\prod n_i!}\) | Anagramas de "BANANA" |
| Variación sin repetición | No | Sí | No | \(V_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) | Top 3 medallas de 8 atletas |
| Variación con repetición | No | Sí | Sí | \(VR_{n,k}=n^k\) | Contraseñas de 4 dígitos |
| Combinación sin repetición | No | No | No | \(C_{n,k}={n\choose k}\) | Elegir 6 números de 49 (lotería) |
| Combinación con repetición | No | No | Sí | \(CR_{n,k}={n+k-1\choose k}\) | Raciones de 3 sabores de 5 tipos |
🧭 Las 6 técnicas de conteo explicadas en detalle
✳️ 1. Permutaciones (P_n)
¿Qué es?
Ordena todos los \(n\) elementos distintos de un conjunto. Es la respuesta a "¿de cuántas formas puedo organizar todo?"
¿Para qué sirve?
- Organización de personas, libros, elementos físicos
- Cualquier problema donde la posición importa y usas todo
- Caso base para otras fórmulas
¿Cuándo la usas?
Cuando:
- ✅ Tienes \(n\) elementos en total
- ✅ Importa el orden (BANANA ≠ NABANA)
- ✅ Los usas todos
- ⚠️ PERO algunos elementos son idénticos (hay frecuencias \(n_1, n_2, \dots\))
Fórmula
Intuición: Calculas \(n!\) como si todos fuesen distintos, pero luego divides por los factoriales de las frecuencias para "descontar" las permutaciones idénticas.
Ejemplo paso a paso
Pregunta: ¿Cuántos anagramas tiene la palabra "BANANA"?
Análisis:
- Total de letras: \(n = 6\)
- Frecuencias: B aparece 1 vez, A aparece 3 veces, N aparece 2 veces
- Es decir: \(n_B=1, n_A=3, n_N=2\)
¿Por qué dividimos? Si tratamos todas las letras como distintas (p. ej. A₁, A₂, A₃), habría \(6! = 720\) ordenaciones. Pero muchas son idénticas porque no podemos diferenciar entre A₁A₂A₃ y A₃A₁A₂. Hay \(3!\) formas de "permutar las A's" internamente, así que dividimos por \(3!\). Igual con las N's (\(2!\)).
✳️ 3. Variaciones sin repetición (V_{n,k})
¿Qué es?
Elige \(k\) elementos de \(n\) disponibles y ordénalos, sin poder repetir ninguno. Es como "permutaciones de un subconjunto".
¿Para qué sirve?
- Podios deportivos (1er, 2º, 3er lugar)
- Élites de un grupo (presidente, vicepresidente, tesorero de \(n\) candidatos)
- Códigos donde importa la secuencia y sin dígitos repetidos
- Top-k rankings
¿Cuándo la usas?
Cuando:
- ✅ Eliges \(k\) elementos de \(n\) (no todos)
- ✅ Importa el orden (medalla de oro ≠ medalla de plata)
- ✅ No hay repetición (cada elemento se usa como máximo una vez)
Fórmula
Intuición: La primera posición tiene \(n\) opciones, la segunda tiene \(n-1\), ..., la \(k\)-ésima tiene \(n-k+1\) opciones. Multiplicamos.
Ejemplo paso a paso
Pregunta: En una carrera de 8 atletas, ¿cuántas formas diferentes puede haber para el podio (oro, plata, bronce)?
¿Por qué?
- Oro: 8 opciones (cualquiera de los 8)
- Plata: 7 opciones (quedan 7)
- Bronce: 6 opciones (quedan 6)
Resultado: 336 formas diferentes.
Comparación con permutaciones: Es como permutación pero solo de los primeros \(k\) elementos.
✳️ 4. Variaciones con repetición (VR_{n,k})
¿Qué es?
Elige \(k\) elementos de \(n\) disponibles y ordénalos, permitiendo repetición. Es como llenar \(k\) posiciones donde cada una puede tomar \(n\) valores diferentes.
¿Para qué sirve?
- Contraseñas y PINs
- Códigos de barras o identificadores
- Lanzamientos de dados múltiples
- Cualquier secuencia donde cada posición es independiente
¿Cuándo la usas?
Cuando:
- ✅ Eliges \(k\) elementos de \(n\)
- ✅ Importa el orden
- ✅ Sí hay repetición (puedes usar el mismo elemento varias veces)
Fórmula
Intuición: Cada posición tiene \(n\) opciones independientemente. Como hay \(k\) posiciones, multiplicamos \(n \times n \times \cdots \times n\) (k veces).
Ejemplo paso a paso
Pregunta: ¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos 0–9?
¿Por qué?
- Posición 1: 10 opciones (0–9)
- Posición 2: 10 opciones (0–9, sin restricción)
- Posición 3: 10 opciones (0–9)
- Posición 4: 10 opciones (0–9)
Resultado: 10.000 contraseñas posibles.
✳️ 5. Combinaciones sin repetición (C_{n,k} o \(\binom{n}{k}\))
¿Qué es?
Elige \(k\) elementos de \(n\), sin importar el orden y sin repetición. Es la respuesta a "¿cuántos grupos puedo hacer?"
¿Para qué sirve?
- Lotería, rifa (elegir 6 números de 49)
- Equipos o comisiones (elegir 5 personas de 20)
- Combinaciones de colores, sabores, ingredientes
- Cualquier problema donde "quién" importa pero el orden no
¿Cuándo la usas?
Cuando:
- ✅ Eliges \(k\) elementos de \(n\)
- ✅ NO importa el orden ({A,B,C} = {C,B,A})
- ✅ No hay repetición
Fórmula
Intuición: Empiezas con variaciones (\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)), pero eso cuenta cada combinación \(k!\) veces (una por cada ordenación). Divides por \(k!\) para eliminar el overcounting.
Ejemplo paso a paso
Pregunta: En un grupo de 10 amigos, ¿cuántos equipos de 3 puedo formar?
¿Por qué?
- Si el orden importase (presidente, vicepresidente, tesorero): \(V_{10,3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\)
- Pero como el orden no importa (todos en el mismo equipo), cada equipo se cuenta \(3! = 6\) veces
- Dividimos: \(\dfrac{720}{6} = 120\)
Resultado: 120 equipos posibles.
✳️ 6. Combinaciones con repetición (CR_{n,k} o \(\binom{n+k-1}{k}\))
¿Qué es?
Elige \(k\) elementos de \(n\), sin importar el orden y permitiendo repetición. Es para cuando puedes elegir el mismo elemento varias veces pero lo único que importa es cuántos de cada tipo.
¿Para qué sirve?
- Distribución de recursos idénticos (raciones, dulces, bolas)
- Mezclas de ingredientes donde el orden no importa
- Problemas de "stars and bars"
- Ecuaciones diofánticas (cuántas formas de hacer \(x_1 + x_2 + x_3 = n\))
¿Cuándo la usas?
Cuando:
- ✅ Eliges \(k\) elementos de \(n\)
- ✅ NO importa el orden
- ✅ SÍ hay repetición (puedes elegir el mismo tipo varias veces)
Fórmula
Intuición: Es equivalente a distribuir \(k\) objetos idénticos en \(n\) tipos distinguibles (como poner bolas en cajas). Se puede demostrar con "stars and bars": imagina \(k\) estrellas (*) y \(n-1\) barras (|); el número de formas de organizarlas es la combinación de \(n+k-1\) posiciones eligiendo dónde van las \(k\) estrellas.
Ejemplo paso a paso
Pregunta: Una heladería ofrece 5 sabores. ¿Cuántas formas hay de elegir 3 bolas (pudiendo repetir sabor)?
¿Por qué?
- Ejemplos de respuestas: (V,V,V), (V,V,F), (V,F,F), (F,F,F), (C,C,V), etc.
- Lo importante es cuántas de cada sabor, no el orden
Resultado: 35 formas diferentes.
🔑 Comparaciones clave que quería resolver
Variación vs. Combinación: ¿cuál es la diferencia real?
¡Tienes razón en tu intuición! Variación y combinación son "casi lo mismo", pero la diferencia de orden es crítica:
| Variación | Combinación | |
|---|---|---|
| Fórmula | \(V_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) | \(C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) |
| Diferencia | Variación = Combinación × \(k!\) | Combinación = Variación ÷ \(k!\) |
| Cuándo | El orden importa | El orden no importa |
| Ejemplo | Medallas (oro≠plata) | Equipos (todos iguales) |
| Regla nemotécnica | "Variación = Orden Vita" | "Combinación = Contingente (da igual el orden)" |
Ver demostración matemática
Si tienes \(V_{n,k}\) ordenaciones distintas, ¿cuántas representan el mismo grupo de \(k\) elementos?
Respuesta: \(k!\) ordenaciones diferentes.
Ejemplo: {A,B,C} desde {A,B,C,D,E} es 1 grupo. Pero en variaciones, cuenta como:
- (A,B,C) ← orden 1
- (A,C,B) ← orden 2
- (B,A,C) ← orden 3
- (B,C,A) ← orden 4
- (C,A,B) ← orden 5
- (C,B,A) ← orden 6
Son \(3! = 6\) órdenes del mismo grupo.
Por tanto: \(C_{n,k} = \dfrac{V_{n,k}}{k!}\), o al revés: \(V_{n,k} = C_{n,k} \cdot k!\)
Repetición sí / repetición no
La repetición dobla la complejidad:
Sin repetición: cada elemento entra como máximo una vez.
- Ej: Elegir 3 de {A,B,C,D} sin repetir → máximo {A,B,C}
Con repetición: cada elemento se puede elegir varias veces.
- Ej: Elegir 3 de {A,B} con repetir → {A,A,A}, {A,A,B}, {A,B,B}, {B,B,B}
❗️ Error común
No confundas "repetición" con "orden". Son independientes:
- Variación SIN rep: orden SÍ, repetir NO
- Variación CON rep: orden SÍ, repetir SÍ
- Combinación SIN rep: orden NO, repetir NO
- Combinación CON rep: orden NO, repetir SÍ
📊 Relación entre las 6 técnicas
Todas las fórmulas están relacionadas. Aquí el "árbol genealógico":
📚 Ejemplos clasificados por tipo
Permutaciones
- "Ordena 5 libros en una estantería" → \(P_5 = 5!\)
- "¿De cuántas formas se sientan 6 personas?" → \(P_6 = 6!\)
Permutaciones con repetición
- "Anagramas de AABBCC" → \(P_6^{2,2,2} = \dfrac{6!}{2!2!2!}\)
- "Formas de ordenar BANANA" → \(P_6^{1,3,2}\)
Variaciones sin repetición
- "Medallas (O,P,B) de 10 atletas" → \(V_{10,3}\)
- "Top 5 de 50 películas" → \(V_{50,5}\)
Variaciones con repetición
- "PINs de 4 dígitos" → \(VR_{10,4} = 10^4\)
- "Placas con 3 letras" → \(VR_{26,3} = 26^3\)
Combinaciones sin repetición
- "Lotería 6 de 49" → \(C_{49,6} = \binom{49}{6}\)
- "Elegir 5 de 20 estudiantes" → \(C_{20,5}\)
Combinaciones con repetición
- "Raciones de 3 helados de 5 sabores" → \(CR_{5,3}\)
- "Distribución de 10 caramelos entre 4 niños" → \(CR_{4,10}\)
💡 Consejos y trucos de experto
✨ Estrategias para resolver problemas
-
Lee dos veces: muchos errores vienen de no leer bien el enunciado. "Elegir" suena indiferente, pero si hay números después (posiciones, rangos), entonces importa el orden.
-
Identifica restricciones: ¿dice "sin repetir"? ¿"primer dígito no es 0"? ¿"dos personas no juntas"? Estas cambian todo.
-
Simplifica antes: calcula \(\dfrac{n}{(n-k)}\) para variaciones antes de expandir factoriales grandes.
-
Usa "bloques": si dos elementos deben estar juntos, tratalos como un único bloque y reduce el problema.
-
Usa complemento: si contar los "malos" es más fácil, resta del total.
-
Chequea el árbol de decisión: antes de aplicar una fórmula, verifica que contestaste correctamente todas las preguntas del árbol.
❗️ Errores comunes a evitar
- Confundir variación (con orden) y combinación (sin orden).
- Olvidar que \(0! = 1\) (causa problemas en casos límite).
- Calcular mal frecuencias en permutaciones con repetición.
- No simplificar factoriales antes de multiplicar (números muy grandes).
- Pensar que "seleccionar" siempre significa "sin orden" (¡no siempre!).
- Olvidar que "sin repetición" y "con repetición" son independientes del "orden".
🧪 Ejercicios propuestos
Resuelve y consulta la solución haciendo clic en "Respuesta". Sigue el patrón: enunciado, solución con fórmula, cálculo y explicación del método.
Pregunta 1 — ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de "aabbbc"?
Respuesta
Aplicamos permutación con repetición con \(n=6\), \(n_a=2,n_b=3,n_c=1\).
Cálculo: \(6!=720\), denominador \(2!\cdot3!\cdot1!=12\), así
Resultado: 60.
Por qué este método: hay repetición de letras y sí importa el orden (anagramas), por eso usamos la permutación con repetición. Truco: contar frecuencias primero.
Pregunta 2 — ¿Cuántos números de tres cifras sin repetición se pueden formar con los dígitos \(\{1,2,3,4,5\}\)?
Respuesta
Usamos variación sin repetición: \(V_{5,3}=\dfrac{5!}{(5-3)!}=\dfrac{120}{2}=60\).
Resultado: 60.
Por qué este método: elegimos y ordenamos 3 elementos de 5 sin repetir, por tanto las variaciones sin repetición son la elección natural.
Pregunta 3 — De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una fila si dos personas concretas no pueden estar juntas?
Respuesta
Total sin restricción: \(6! = 720\).
Permutaciones donde las dos están juntas (las consideramos bloque): \(5!\cdot2! = 240\).
Restamos: \(720 - 240 = 480\).
Resultado: 480.
Por qué este método: más sencillo contar el total y restar los casos prohibidos (complemento). Trucos: cuando la prohibición es "no juntos", suele ser cómodo usar el bloque.
Pregunta 4 — ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene \(x_1+x_2+x_3=5\) (interpretado como elegir 5 objetos indistinguibles entre 3 tipos)?
Respuesta
Es un problema de combinación con repetición: \(n=3,k=5\).
Resultado: 21.
Por qué este método: las variables son indistinguibles dentro de cada unidad (repetición permitida) y el orden no importa → combinación con repetición.
🔍 Más información y recursos
Para profundizar:
- Resumen UD6 — tabla de referencia rápida
- Ejercicios UD6 — prácticos con soluciones completas
- Examen de Formulación — 9 preguntas de asociación fórmulas-conceptos
- Examen Práctico — 11 problemas típicos nivel medio