🧪 Examen de Formulación

Duración estimada: 30 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). El objetivo es asociar cada fórmula con el concepto correcto.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• Algunas preguntas son "preguntas trampa": una opción parece plausible pero corresponde a otro concepto. Lee con cuidado.
• En las preguntas de fórmulas se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la explicación para estudiar.

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Pregunta 1

¿Cuál es la fórmula para contar el número de permutaciones de \(n\) elementos distintos?

\(n^k\)

\(n!\)

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Explicación: Las permutaciones de todos los elementos usan factorial simple. Las otras son variaciones, variaciones con repetición y combinaciones.

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Pregunta 2

¿Cuál es la fórmula para contar ordenaciones de \(n\) elementos donde hay repeticiones internas (ej. anagramas de "aabbbc")?

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

\(\dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_r!}\)

\(n!\)

\({n+k-1 \choose k}\)

Explicación: La permutación con repetición divide el factorial por los factoriales de las frecuencias. Las otras opciones corresponden a permutaciones simples, variaciones y combinaciones con repetición.

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Pregunta 3

¿Cuál es la fórmula para contar selecciones de \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) donde el orden sí importa y no hay repetición?

\({n \choose k}\)

\(n^k\)

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

\(\dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2!}\)

Explicación: Son variaciones sin repetición. La combinación quitaría la importancia del orden; \(n^k\) es variación con repetición; y la última es permutación con repetición.

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Pregunta 4

¿Cuál es la fórmula para contar formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) donde el orden no importa y no hay repetición?

\(n^k\)

\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) ó \({n \choose k}\)

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

\({n+k-1 \choose k}\)

Explicación: Son combinaciones sin repetición (coeficiente binomial). La opción correcta usa dos notaciones equivalentes. Las demás son variación con repetición, variación sin repetición y combinación con repetición.

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Pregunta 5

¿Cuál es la fórmula para contar "tuplas" de \(k\) posiciones donde cada posición puede repetir un elemento de un conjunto de \(n\)? (Ej. contraseñas de \(k\) dígitos con 10 dígitos disponibles)

\(n^k\)

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

\({n+k-1 \choose k}\)

\(n!\)

Explicación: Son variaciones con repetición: cada posición tiene \(n\) opciones. La variación sin repetición restringe; combinación con repetición quita orden; permutación es para \(k=n\).

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Pregunta 6

¿Cuál es la fórmula para contar grupos de \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) donde el orden no importa y sí hay repetición? (Ej. elegir 3 sabores de helado de 5 tipos disponibles, permitiendo repetir sabor)

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

\({n+k-1 \choose k}\)

\(n^k\)

Explicación: Son combinaciones con repetición. Se expande a \(\dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\) internamente. La variación sin repetición ordena; combinación sin repetición no permite repetir; \(n^k\) es variación con repetición que ordena.

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Pregunta 7

Pregunta trampa: ¿Qué cuentan las opciones a y b respectivamente?

\[ \text{(a) } \frac{10!}{3!\,4!\,2!\,1!} \quad \text{(b) } \frac{10!}{7!} \]

(a) variación sin repetición; (b) permutación con repetición

(a) permutación con repetición; (b) variación sin repetición

Ambas cuentan lo mismo

(a) combinación con repetición; (b) combinación sin repetición

Explicación: (a) es permutación con repetición (frecuencias en denominador). (b) es variación: elegir y ordenar 3 de 10 elementos. La división de (b) da \(10\cdot9\cdot8=720\).

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Pregunta 8

Si \(V_{n,k} = 120\) y \(C_{n,k} = 20\), ¿cuál es la relación entre variaciones y combinaciones?

\(V_{n,k} = C_{n,k}\)

\(V_{n,k} = C_{n,k} \cdot k!\)

\(C_{n,k} = V_{n,k} \cdot k!\)

\(V_{n,k} = 2 \cdot C_{n,k}\)

Explicación: Las variaciones cuentan ordenaciones; las combinaciones cuentan selecciones sin orden. Para convertir, multiplicamos por \(k!\) (número de formas de ordenar \(k\) elementos): \(120 = 20 \cdot 6 = 20 \cdot 3!\).

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Pregunta 9

¿Cuál es la fórmula para calcular el número de formas de sentar \(n\) personas en \(n\) sillas de una fila (suponiendo que todas las sillas y personas son distinguibles)?

\({2n \choose n}\)

\(n^n\)

\(n!\)

\(\dfrac{n!}{2}\)

Explicación: Es una permutación de todos los elementos. La primera silla tiene \(n\) opciones, la segunda \(n-1\), etc., dando \(n!\). Las otras opciones son distractores.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Permutaciones simples

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para contar el número de permutaciones de \(n\) elementos distintos?

Respuesta correcta: \(n!\)

Justificación: Una permutación es una ordenación de todos los \(n\) elementos. El primer lugar tiene \(n\) opciones, el segundo tiene \(n-1\), etc. El total es \(n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1 = n!\).

Ejemplo: Permutaciones de \(\{a,b,c\}\): \(3!=6\) (abc, acb, bac, bca, cab, cba).

Solución pregunta 2 — Permutaciones con repetición

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para contar ordenaciones de \(n\) elementos donde hay repeticiones internas?

Respuesta correcta: \(\dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_r!}\)

Justificación: Cuando hay elementos repetidos (frecuencias \(n_1, n_2, \dots, n_r\)), muchas permutaciones son idénticas. Dividimos el factorial total por el producto de los factoriales de las frecuencias.

Ejemplo: Anagramas de "aabbbc" (\(n=6\), \(n_a=2, n_b=3, n_c=1\)): \(\dfrac{6!}{2!\cdot3!\cdot1!} = \dfrac{720}{12} = 60\).

Solución pregunta 3 — Variaciones sin repetición

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para contar selecciones de \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) donde el orden sí importa y no hay repetición?

Respuesta correcta: \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

Justificación: Elegimos \(k\) elementos ordenados (sin poder repetir). El primer puesto tiene \(n\) opciones, el segundo \(n-1\), etc., hasta el \(k\)-ésimo que tiene \(n-k+1\) opciones. El producto es \(n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}\).

Ejemplo: Números de 2 cifras de \(\{1,2,3,4\}\) sin repetir: \(V_{4,2} = \dfrac{4!}{2!} = 12\).

Solución pregunta 4 — Combinaciones sin repetición

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para contar formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) donde el orden no importa y no hay repetición?

Respuesta correcta: \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) ó \({n \choose k}\) (notaciones equivalentes)

Justificación: Las combinaciones son selecciones donde el orden no importa. Se calcula como variaciones divididas por \(k!\) (formas de ordenar \(k\) elementos): \(\dfrac{n!/(n-k)!}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).

Ejemplo: Grupos de 3 letras de \(\{a,b,c,d\}\): \(C_{4,3} = {4\choose3} = 4\) (grupos: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}).

Solución pregunta 5 — Variaciones con repetición

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para contar tuplas de \(k\) posiciones donde cada posición puede repetir un elemento de un conjunto de \(n\)?

Respuesta correcta: \(n^k\)

Justificación: Cada una de las \(k\) posiciones tiene \(n\) opciones disponibles. Como hay repetición, todas las opciones están disponibles en cada paso. Total: \(n\times n\times\cdots\times n = n^k\).

Ejemplo: Contraseñas de 3 dígitos (0–9): \(10^3 = 1000\) combinaciones.

Solución pregunta 6 — Combinaciones con repetición

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para contar grupos de \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) donde el orden no importa y sí hay repetición?

Respuesta correcta: \({n+k-1 \choose k}\)

Justificación: Es un problema equivalente a distribuir \(k\) objetos indistinguibles entre \(n\) tipos distinguibles. Se puede demostrar que la respuesta es \({n+k-1 \choose k} = \dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\).

Ejemplo: Grupos de 3 sabores de helado de 5 tipos (repetición permitida): \(CR_{5,3} = {5+3-1 \choose 3} = {7\choose3} = 35\).

Solución pregunta 7 — Pregunta trampa: distinguir permutaciones y variaciones

Pregunta: ¿Qué cuentan las opciones a y b?

\[ \text{(a) } \frac{10!}{3!\,4!\,2!\,1!} \quad \text{(b) } \frac{10!}{7!} \]

Respuesta correcta: (a) permutación con repetición; (b) variación sin repetición

Justificación: - (a) Tiene frecuencias en el denominador (\(3!, 4!, 2!, 1!\)): es permutación con repetición de 10 elementos donde hay 3+4+2+1=10 elementos de tipos distintos. - (b) Es \(\dfrac{10!}{7!} = 10\cdot9\cdot8 = V_{10,3}\): elegir y ordenar 3 elementos de 10 sin repetición.

Solución pregunta 8 — Relación entre variaciones y combinaciones

Pregunta: Si \(V_{n,k} = 120\) y \(C_{n,k} = 20\), ¿cuál es la relación?

Respuesta correcta: \(V_{n,k} = C_{n,k} \cdot k!\)

Justificación: La relación fundamental es:

\[ V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}, \quad C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Dividiendo: \(\dfrac{V_{n,k}}{C_{n,k}} = \dfrac{\dfrac{n!}{(n-k)!}}{\dfrac{n!}{k!(n-k)!}} = k!\), luego \(V_{n,k} = C_{n,k} \cdot k!\).

En números: \(120 = 20 \cdot 6 = 20 \cdot 3!\) (con \(k=3\)).

Solución pregunta 9 — Permutaciones de todos los elementos

Pregunta: ¿Cuál es la fórmula para calcular el número de formas de sentar \(n\) personas en \(n\) sillas de una fila?

Respuesta correcta: \(n!\)

Justificación: Es una permutación de todos los \(n\) elementos. La primera silla puede ocuparla cualquiera de las \(n\) personas, la segunda cualquiera de las \(n-1\) restantes, etc. Total: \(n!\).

Ejemplo: Sentar 4 personas en 4 sillas: \(4! = 24\) formas.