🧪 Examen Práctico (medio)

Duración estimada: 90 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). Resuelve los problemas eligiendo la opción que consideres correcta; justificaciones de cada solución aparecen al final.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

¿Cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden formar con los dígitos \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) sin que se repita ningún dígito?

\(6^4 = 1296\)

\(\dfrac{6!}{2!} = 360\)

\(6! = 720\)

\({6 \choose 4} = 15\)

Explicación: Necesitamos formar números (orden importa) de 4 cifras distintas de 6 disponibles. Es variación sin repetición: \(V_{6,4} = \dfrac{6!}{(6-4)!} = \dfrac{720}{2} = 360\).

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Pregunta 2

En un estante hay 8 libros diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar?

\(8! = 40320\)

\(8^8\)

\({8 \choose 8} = 1\)

\(\dfrac{8!}{2}\)

Explicación: Ordenar todos los elementos es una permutación simple: \(8! = 40320\). Las otras opciones son distractores (variación con repetición, combinación trivial, y una división injustificada).

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Pregunta 3

¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra "BANANA"?

\(6! = 720\)

\(\dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60\)

\(3! \cdot 2! = 12\)

\({6 \choose 3} = 20\)

Explicación: "BANANA" tiene 6 letras con frecuencias: B=1, A=3, N=2. Usamos permutación con repetición: \(\dfrac{6!}{1!\cdot3!\cdot2!} = \dfrac{720}{12} = 60\).

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Pregunta 4

Un restaurante ofrece un menú con 10 platos disponibles. ¿De cuántas maneras un cliente puede elegir 3 platos diferentes para su comida (sin importar el orden)?

\(10^3 = 1000\)

\(\dfrac{10!}{7!} = 720\)

\({10 \choose 3} = 120\)

\(3 \cdot 10 = 30\)

Explicación: Elegir 3 platos de 10 sin orden (combinación sin repetición): \({10 \choose 3} = \dfrac{10!}{3! \cdot 7!} = 120\). La variación daría \(V_{10,3} = 720\), pero aquí el orden no importa.

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Pregunta 5

¿De cuántas maneras se pueden distribuir 5 caramelos idénticos entre 3 niños?

\({5+3-1 \choose 5} = {7 \choose 5} = 21\)

\(3^5 = 243\)

\(\dfrac{5!}{3!} = 20\)

\({5 \choose 3} = 10\)

Explicación: Los caramelos son indistinguibles (idénticos) y el orden no importa: combinación con repetición. \(CR_{3,5} = {3+5-1 \choose 5} = {7\choose5} = 21\).

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Pregunta 6

¿Cuántas contraseñas de 4 caracteres se pueden crear usando letras mayúsculas (26 disponibles) donde se permite la repetición?

\({26 \choose 4} = 14950\)

\(26^4 = 456976\)

\(\dfrac{26!}{22!}\)

\(\dfrac{26!}{4! \cdot 22!}\)

Explicación: Cada posición tiene 26 opciones y se permite repetición: variación con repetición \(VR_{26,4} = 26^4 = 456976\). La opción b) es incompleta (sería variación sin repetición si fuese 4! en el denominador).

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Pregunta 7

¿De cuántas maneras pueden alinearse 5 estudiantes en una fila si dos estudiantes específicos (Ana y Bruno) deben estar juntos?

\(5! = 120\)

\(4! \cdot 2! = 48\)

\(3! \cdot 2! = 12\)

\({5 \choose 2} = 10\)

Explicación: Consideramos a Ana y Bruno como un "bloque" único. Tenemos 4 unidades para ordenar (el bloque + 3 estudiantes): \(4!\) formas. Dentro del bloque, Ana y Bruno pueden permutarse: \(2!\). Total: \(4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48\).

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Pregunta 8

¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 colores de una paleta de 7 colores disponibles para pintar un cuadro, donde el orden en que se mezclan sí importa?

\({7 \choose 3} = 35\)

\(V_{7,3} = \dfrac{7!}{4!} = 210\)

\(7^3 = 343\)

\(3! \cdot 7 = 42\)

Explicación: Elegir 3 colores de 7 donde el orden importa (mezclar en orden A-B-C es distinto a B-A-C): variación sin repetición. \(V_{7,3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210\).

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Pregunta 9

Un juego de lotería pide elegir 6 números de 49 disponibles. ¿Cuántas combinaciones de boletos diferentes existen?

\(49^6\)

\(\dfrac{49!}{43!}\)

\({49 \choose 6} = 10068347\)

\(49! - 43!\)

Explicación: Seleccionar 6 números sin orden y sin repetición: combinación sin repetición \({49 \choose 6} = \dfrac{49!}{6! \cdot 43!} = 10068347\).

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Pregunta 10

¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con el alfabeto de 27 letras (incluida la ñ) si se permite la repetición de letras?

\(27^5 = 14348907\)

\(V_{27,5} = \dfrac{27!}{22!}\)

\({27 \choose 5} = 80730\)

\(27!\)

Explicación: Cada una de las 5 posiciones puede tomar cualquiera de 27 letras con repetición permitida: \(27^5 = 14348907\).

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Pregunta 11

¿De cuántas maneras se pueden distribuir 4 reglos idénticos y 3 lápices idénticos en 5 cajas diferentes (cada caja puede estar vacía)?

\(4! \cdot 3! = 144\)

\({5+4 \choose 4} \cdot {5+3 \choose 3}\)

\({5+4-1 \choose 4} \cdot {5+3-1 \choose 3} = {8 \choose 4} \cdot {7 \choose 3} = 70 \cdot 35 = 2450\)

\(5^{4+3} = 5^7\)

Explicación: Distribuir objetos idénticos en cajas diferentes es combinación con repetición. Para los 4 reglos: \(CR_{5,4} = {8\choose4} = 70\). Para los 3 lápices: \(CR_{5,3} = {7\choose3} = 35\). Total: \(70 \cdot 35 = 2450\).

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Pregunta 12

¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa circular?

\(6! = 720\)

\((6-1)! = 5! = 120\)

\(\dfrac{6!}{6} = 120\) (igual que b)

\({6 \choose 2} = 15\)

Explicación: En permutaciones circulares, fijamos una posición (para eliminar rotaciones equivalentes) y permutamos las restantes: \((n-1)!\) para \(n\) elementos. Aquí: \((6-1)! = 5! = 120\).

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Pregunta 13

¿Cuántos números de 5 dígitos se pueden formar usando exactamente dos veces el dígito 3, dos veces el dígito 5, y una vez el dígito 7?

\(5! = 120\)

\(\dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30\)

\(5^5 = 3125\)

\({5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} = 30\) (distinto razonamiento)

Explicación: Tenemos 5 dígitos con frecuencias: 3→2 veces, 5→2 veces, 7→1 vez. Permutación con repetición: \(\dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \dfrac{120}{4} = 30\).

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Pregunta 14

En un torneo de tenis participan 10 jugadores. ¿Cuántos partidos se deben jugar si cada jugador debe enfrentarse una vez con cada uno de los demás?

\(10^2 = 100\)

\(\dfrac{10!}{8!} = 90\)

\({10 \choose 2} = 45\)

\(10 \cdot 9 = 90\)

Explicación: Cada partido involucra 2 jugadores, sin orden (A vs B = B vs A), sin repetición. Es combinación: \({10 \choose 2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\) partidos.

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Pregunta 15

¿Cuántas cadenas de 8 bits (0s y 1s) existen que tengan exactamente tres 1s?

\(8^3 = 512\)

\({8 \choose 3} = 56\)

\(3 \cdot 8 = 24\)

\(\dfrac{8!}{3!} = 6720\)

Explicación: Elegir 3 posiciones de 8 para colocar los 1s (el resto serán 0s), sin orden: \({8 \choose 3} = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = 56\).

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Pregunta 16

¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 bolas idénticas en 4 urnas diferentes si cada urna debe tener al menos una bola?

\({7 \choose 4} = 35\)

\({10 \choose 3} = 120\)

\({7-1 \choose 4-1} = {6 \choose 3} = 20\)

\(4^7 = 16384\)

Explicación: Garantizamos una bola por urna primero (quedan \(7-4 = 3\) bolas para distribuir libremente en 4 urnas). Usando barras y estrellas: \({3+4-1 \choose 4-1} = {6 \choose 3} = 20\).

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Pregunta 17

Usando el principio de inclusión-exclusión: ¿cuántos números enteros del 1 al 100 son divisibles por 2 o por 5?

\(50 + 20 = 70\)

\(50 + 20 - 10 = 60\)

\(\dfrac{100}{2} \cdot \dfrac{100}{5} = 1000\)

\(100 - 50 - 20 = 30\)

Explicación: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\). Divisibles por 2: \(\lfloor 100/2 \rfloor = 50\). Divisibles por 5: \(\lfloor 100/5 \rfloor = 20\). Divisibles por ambos (10): \(\lfloor 100/10 \rfloor = 10\). Total: \(50 + 20 - 10 = 60\).

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Pregunta 18

¿De cuántas maneras se pueden colocar 8 torres en un tablero de ajedrez (8×8) de modo que ninguna ataque a otra? (Las torres atacan en línea recta horizontal o vertical)

\(8! = 40320\)

\(8^8\)

\({64 \choose 8}\)

\(64 \cdot 63 \cdot 62 \cdots 57\)

Explicación: Cada torre debe estar en fila y columna distintas. Fijamos una torre por fila (8 filas); elegimos columna para cada una sin repetir: \(8!\) permutaciones de las columnas. Total: \(8! = 40320\).

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Pregunta 19

¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10\)?

\(4^{10} = 1048576\)

\({10 \choose 4} = 210\)

\({10+4-1 \choose 4-1} = {13 \choose 3} = 286\)

\(\dfrac{10!}{4!}\)

Explicación: Distribuir 10 unidades idénticas en 4 variables (barras y estrellas): \({n+k-1 \choose k-1} = {10+4-1 \choose 4-1} = {13 \choose 3} = 286\).

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Pregunta 20

¿De cuántas maneras se pueden formar equipos de 5 personas de un grupo de 12 hombres y 8 mujeres, si el equipo debe tener exactamente 3 hombres y 2 mujeres?

\({12 \choose 3} + {8 \choose 2} = 248\)

\({12 \choose 3} \cdot {8 \choose 2} = 220 \cdot 28 = 6160\)

\({20 \choose 5} = 15504\)

\(12 \cdot 8 = 96\)

Explicación: Elegir 3 hombres de 12: \({12 \choose 3} = 220\). Elegir 2 mujeres de 8: \({8 \choose 2} = 28\). Eventos independientes: \(220 \cdot 28 = 6160\) equipos.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Números de 4 cifras sin repetición

Pregunta: ¿Cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden formar con los dígitos \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) sin que se repita ningún dígito?

Respuesta correcta: \(\dfrac{6!}{2!} = 360\)

Solución:

Necesitamos elegir 4 dígitos de 6 disponibles y ordenarlos (porque la posición importa: 1234 es distinto a 4321). Sin repetición.

Esto es variación sin repetición:

\[V_{6,4} = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360\]

También podemos contar directamente: primer dígito (6 opciones) × segundo (5) × tercero (4) × cuarto (3) = \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\).

Resultado: 360 números.

Solución pregunta 2 — Orden de libros en estante

Pregunta: En un estante hay 8 libros diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar?

Respuesta correcta: \(8! = 40320\)

Solución:

Ordenar todos los elementos es una permutación simple:

\[P_8 = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320\]

• Primer lugar: 8 opciones
• Segundo lugar: 7 opciones
• Tercero: 6 opciones
• ... y así sucesivamente

Total: \(8! = 40320\).

Solución pregunta 3 — Anagramas de 'BANANA'

Pregunta: ¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra "BANANA"?

Respuesta correcta: \(\dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60\)

Solución:

Las letras de "BANANA" son: B (1 vez), A (3 veces), N (2 veces). Total 6 letras.

Usamos permutación con repetición:

\[P_6^{1,3,2} = \frac{6!}{1! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{720}{1 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{720}{12} = 60\]

Dividimos por los factoriales de las frecuencias porque muchas permutaciones "ingénuas" de 6 elementos serían idénticas al cambiar dos A's o dos N's de posición.

Resultado: 60 palabras distintas.

Solución pregunta 4 — Elegir platos (orden no importa)

Pregunta: Un restaurante ofrece 10 platos. ¿De cuántas maneras un cliente puede elegir 3 platos diferentes (sin importar el orden)?

Respuesta correcta: \({10 \choose 3} = 120\)

Solución:

Elegir 3 platos de 10 donde el orden no importa (la combinación {A, B, C} es la misma que {C, B, A}): combinación sin repetición.

\[{10 \choose 3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120\]

Comparación: Si el orden importase (variación), sería \(V_{10,3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\). Dividimos por \(3! = 6\) para eliminar el orden.

Resultado: 120 combinaciones.

Solución pregunta 5 — Distribuir caramelos idénticos

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 5 caramelos idénticos entre 3 niños?

Respuesta correcta: \({7 \choose 5} = 21\)

Solución:

Los caramelos son indistinguibles (todos iguales) y cada niño puede recibir cualquier cantidad (0 o más). Es combinación con repetición:

\[CR_{3,5} = {3+5-1 \choose 5} = {7 \choose 5} = {7 \choose 2} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\]

Interpretación: Equivale a colocar 5 caramelos en una fila y 2 separadores para dividirlos entre 3 niños: tenemos 7 posiciones (5+2) y elegimos dónde van los separadores: \({7 \choose 2} = 21\).

Ejemplo de distribuciones: (5,0,0), (4,1,0), (4,0,1), (3,2,0), (3,1,1), ..., (2,2,1), (1,1,3), (0,0,5), etc.

Resultado: 21 maneras.

Solución pregunta 6 — Contraseñas de 4 caracteres

Pregunta: ¿Cuántas contraseñas de 4 caracteres se pueden crear usando 26 letras mayúsculas con repetición permitida?

Respuesta correcta: \(26^4 = 456976\)

Solución:

Cada posición puede tomar cualquiera de 26 letras de forma independiente y con repetición permitida: variación con repetición.

\[VR_{26,4} = 26^4 = 26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 26 = 456976\]

• Posición 1: 26 opciones
• Posición 2: 26 opciones
• Posición 3: 26 opciones
• Posición 4: 26 opciones

Total: \(26^4 = 456976\) contraseñas.

Resultado: 456.976 contraseñas.

Solución pregunta 7 — Alinear estudiantes (restricción)

Pregunta: ¿De cuántas maneras pueden alinearse 5 estudiantes en una fila si Ana y Bruno deben estar juntos?

Respuesta correcta: \(4! \cdot 2! = 48\)

Solución:

Método: Tratar a Ana y Bruno como un bloque único.

• Tenemos 4 "unidades" para ordenar: el bloque (Ana+Bruno) + 3 estudiantes.
• Estas 4 unidades se ordenan de \(4! = 24\) formas.
• Dentro del bloque, Ana y Bruno pueden permutarse de \(2! = 2\) formas (Ana primero o Bruno primero).

\[\text{Total} = 4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48\]

Comparación: Sin restricción serían \(5! = 120\). Con la restricción reducimos a 48 formas.

Resultado: 48 alineaciones.

Solución pregunta 8 — Elegir colores (orden importa)

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 colores de una paleta de 7 para pintar un cuadro, donde el orden de mezcla sí importa?

Respuesta correcta: \(V_{7,3} = 210\)

Solución:

Elegir 3 colores de 7 donde el orden importa (mezclar Rojo-Azul-Amarillo es distinto a Azul-Rojo-Amarillo): variación sin repetición.

\[V_{7,3} = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210\]

• Primer color: 7 opciones
• Segundo color: 6 opciones (no se repite)
• Tercer color: 5 opciones

Total: \(7 \cdot 6 \cdot 5 = 210\).

Si orden no importase: \({7 \choose 3} = 35\) (combinación). La diferencia es que aquí el orden sí importa.

Resultado: 210 ordenes de colores.

Solución pregunta 9 — Lotería (6 de 49)

Pregunta: Un juego de lotería pide elegir 6 números de 49. ¿Cuántas combinaciones de boletos existen?

Respuesta correcta: \({49 \choose 6} = 10068347\)

Solución:

Seleccionar 6 números de 49 donde el orden no importa (boletos {1,2,3,4,5,6} y {6,5,4,3,2,1} son el mismo): combinación sin repetición.

\[{49 \choose 6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Cálculo:

\[\frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{720} = \frac{10068347200}{720} \approx 10068347\]

Resultado: 10.068.347 combinaciones posibles.

Solución pregunta 10 — Palabras de 5 letras (con repetición)

Pregunta: ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 27 letras (A-Z + Ñ) con repetición permitida?

Respuesta correcta: \(27^5 = 14348907\)

Solución:

Cada posición de la palabra puede tomar cualquiera de 27 letras de forma independiente con repetición: variación con repetición.

\[VR_{27,5} = 27^5 = 27 \cdot 27 \cdot 27 \cdot 27 \cdot 27 = 14348907\]

• Posición 1: 27 opciones
• Posición 2: 27 opciones
• Posición 3: 27 opciones
• Posición 4: 27 opciones
• Posición 5: 27 opciones

Total: \(27^5 = 14.348.907\) palabras.

Resultado: 14.348.907 palabras.

Solución pregunta 11 — Distribuir reglos y lápices en cajas

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 4 reglos idénticos y 3 lápices idénticos en 5 cajas diferentes (cada caja puede estar vacía)?

Respuesta correcta: \({8 \choose 4} \cdot {7 \choose 3} = 70 \cdot 35 = 2450\)

Solución:

Los reglos son indistinguibles entre sí, y los lápices son indistinguibles entre sí, pero las cajas son distinguibles. Resolvemos por separado:

Reglos: Distribuir 4 reglos idénticos en 5 cajas distintas es combinación con repetición:

\[CR_{5,4} = {5+4-1 \choose 4} = {8 \choose 4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70\]

Lápices: Distribuir 3 lápices idénticos en 5 cajas distintas:

\[CR_{5,3} = {5+3-1 \choose 3} = {7 \choose 3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35\]

Total: Como las distribuciones de reglos y lápices son independientes:

\[70 \cdot 35 = 2450\]

Resultado: 2.450 maneras.

Solución pregunta 12 — Personas alrededor de mesa circular

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa circular?

Respuesta correcta: \((6-1)! = 5! = 120\)

Solución:

En permutaciones circulares, no contamos las rotaciones como distintas (sentarse en la posición A-B-C-D-E-F es equivalente a B-C-D-E-F-A alrededor de la mesa).

Método: Fijamos una persona en una posición (eliminamos rotaciones) y permutamos las restantes:

\[P_{\text{circular}} = (n-1)! = (6-1)! = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\]

Comparación: Sin restricción circular: \(6! = 720\). Con restricción: \(\dfrac{6!}{6} = 120\) (dividimos por las 6 rotaciones equivalentes).

Resultado: 120 formas distintas de sentarse.

Solución pregunta 13 — Números con dígitos repetidos

Pregunta: ¿Cuántos números de 5 dígitos se pueden formar usando exactamente dos veces el dígito 3, dos veces el dígito 5, y una vez el dígito 7?

Respuesta correcta: \(\dfrac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = 30\)

Solución:

Tenemos 5 posiciones y dígitos con frecuencias: - Dígito 3: 2 veces - Dígito 5: 2 veces - Dígito 7: 1 vez

Usamos permutación con repetición:

\[P_5^{2,2,1} = \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{4} = 30\]

Razonamiento: Si todos los dígitos fuesen distintos: \(5! = 120\) permutaciones. Pero como hay 2 treses idénticos, dividimos por \(2!\). Y como hay 2 cincos idénticos, dividimos por otro \(2!\).

Ejemplos de números: 33577, 35357, 75335, 57335, 37537, etc.

Resultado: 30 números distintos.

Solución pregunta 14 — Torneos de tenis (partidos)

Pregunta: En un torneo de tenis participan 10 jugadores. ¿Cuántos partidos se deben jugar si cada jugador debe enfrentarse una vez con cada uno de los demás?

Respuesta correcta: \({10 \choose 2} = 45\)

Solución:

Un partido involucra exactamente 2 jugadores. El orden no importa (A vs B es el mismo partido que B vs A). No hay repetición (cada par de jugadores juega una sola vez).

Es una combinación sin repetición:

\[{10 \choose 2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45\]

Método directo: Jugador 1 juega 9 partidos (contra cada uno de los otros 9). Jugador 2 juega 8 partidos nuevos (ya contamos contra Jugador 1). Jugador 3 juega 7 nuevos, etc.

\[9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45\]

Resultado: 45 partidos en total.

Solución pregunta 15 — Cadenas de bits con tres 1s

Pregunta: ¿Cuántas cadenas de 8 bits (0s y 1s) existen que tengan exactamente tres 1s?

Respuesta correcta: \({8 \choose 3} = 56\)

Solución:

Una cadena de 8 bits con exactamente tres 1s significa que el resto (5 posiciones) son 0s.

El problema se reduce a: elegir 3 posiciones de 8 para colocar los 1s. No importa el orden de selección, y cada posición se usa una sola vez.

Es combinación sin repetición:

\[{8 \choose 3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56\]

Ejemplos: 11100000, 11010000, 11001000, 10110000, 01110000, 00111000, etc.

Resultado: 56 cadenas distintas.

Solución pregunta 16 — Distribuir bolas con restricción mínima

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 bolas idénticas en 4 urnas diferentes si cada urna debe tener al menos una bola?

Respuesta correcta: \({6 \choose 3} = 20\)

Solución:

Las bolas son idénticas (indistinguibles) pero las urnas son diferentes. Restricción: cada urna debe tener al menos 1 bola.

Método: Primero garantizamos una bola en cada urna: - Distribuimos 4 bolas (una por urna): obligatorio - Quedan \(7 - 4 = 3\) bolas para distribuir libremente

Ahora el problema es: distribuir 3 bolas idénticas en 4 urnas sin restricción, usando barras y estrellas:

\[CR_{4,3} = {4+3-1 \choose 3} = {6 \choose 3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\]

Ejemplos de distribuciones: (1,1,1,4), (1,1,2,3), (1,1,3,2), (1,2,1,3), (1,2,2,2), (2,1,1,3), (2,1,2,2), (2,2,1,2), (2,2,2,1), (1,1,5,0)... espera, ésta no es válida. Todas tienen al menos 1.

Distribuciones válidas (urna1, urna2, urna3, urna4): (4,1,1,1), (3,2,1,1), (3,1,2,1), (3,1,1,2), (2,2,2,1), (2,2,1,2), (2,1,2,2), (1,2,2,2), (2,3,1,1), (2,1,3,1), (2,1,1,3), (1,3,2,1), (1,3,1,2), (1,2,3,1), (1,2,1,3), (1,1,3,2), (1,1,2,3), (2,2,2,1), (1,4,1,1), (1,1,4,1), (1,1,1,4).

Resultado: 20 distribuciones distintas.

Solución pregunta 17 — Inclusión-Exclusión (divisibilidad)

Pregunta: Usando el principio de inclusión-exclusión: ¿cuántos números enteros del 1 al 100 son divisibles por 2 o por 5?

Respuesta correcta: \(50 + 20 - 10 = 60\)

Solución:

Usamos el principio de inclusión-exclusión para contar elementos en la unión de dos conjuntos:

\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\]

Donde: - \(A\) = números divisibles por 2 - \(B\) = números divisibles por 5 - \(A \cap B\) = números divisibles por ambos (es decir, por \(\text{mcm}(2,5) = 10\))

Cálculos:

• \(|A| = \lfloor 100 / 2 \rfloor = 50\) (números: 2, 4, 6, ..., 100)
• \(|B| = \lfloor 100 / 5 \rfloor = 20\) (números: 5, 10, 15, ..., 100)
• \(|A \cap B| = \lfloor 100 / 10 \rfloor = 10\) (números: 10, 20, 30, ..., 100)

Resultado:

\[|A \cup B| = 50 + 20 - 10 = 60\]

60 números del 1 al 100 son divisibles por 2 o por 5.

Solución pregunta 18 — Torres en ajedrez sin ataque

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden colocar 8 torres en un tablero de ajedrez (8×8) de modo que ninguna ataque a otra?

Respuesta correcta: \(8! = 40320\)

Solución:

Las torres atacan en línea recta (fila y columna). Para que ninguna ataque a otra, debe haber exactamente una torre por fila y una torre por columna.

Método:

• Fila 1: Elegimos una de 8 columnas → 8 opciones
• Fila 2: Elegimos una de las 7 columnas restantes → 7 opciones
• Fila 3: Elegimos una de las 6 columnas restantes → 6 opciones
• ...
• Fila 8: La única columna restante → 1 opción

Total: \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 8! = 40320\)

Interpretación: Cada disposición válida corresponde a una permutación de las columnas (una forma de asignar columnas a filas sin repetición).

Resultado: 40.320 configuraciones distintas.

Solución pregunta 19 — Ecuación con variables enteras

Pregunta: ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10\)?

Respuesta correcta: \({13 \choose 3} = 286\)

Solución:

Buscamos tuplas \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) donde cada \(x_i \geq 0\) (entero no negativo) y su suma es 10.

Usamos el método de barras y estrellas (combinaciones con repetición):

• Estrellas: 10 unidades (representan el valor total a distribuir)
• Barras: 3 separadores (dividen las 4 variables)
• Total de objetos: \(10 + 3 = 13\)

El problema es elegir dónde colocar las 3 barras (o equivalentemente, las 10 estrellas) entre 13 posiciones:

\[{n+k-1 \choose k-1} = {10+4-1 \choose 4-1} = {13 \choose 3}\]

Cálculo:

\[{13 \choose 3} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1716}{6} = 286\]

Ejemplos de soluciones: \((10,0,0,0)\), \((5,5,0,0)\), \((3,3,2,2)\), \((1,2,3,4)\), etc.

Resultado: 286 soluciones enteras no negativas.

Solución pregunta 20 — Equipos con restricción de género

Pregunta: ¿De cuántas maneras se pueden formar equipos de 5 personas de un grupo de 12 hombres y 8 mujeres, si el equipo debe tener exactamente 3 hombres y 2 mujeres?

Respuesta correcta: \({12 \choose 3} \cdot {8 \choose 2} = 220 \cdot 28 = 6160\)

Solución:

El equipo tiene una composición fija: 3 hombres y 2 mujeres (total 5 personas). Los hombres y mujeres son grupos distintos.

Paso 1: Elegir 3 hombres de 12 disponibles (sin orden):

\[{12 \choose 3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220\]

Paso 2: Elegir 2 mujeres de 8 disponibles (sin orden):

\[{8 \choose 2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28\]

Paso 3: Como la selección de hombres y mujeres son eventos independientes, usamos el principio multiplicativo:

\[\text{Total} = {12 \choose 3} \times {8 \choose 2} = 220 \times 28 = 6160\]

Verificación: \(220 \times 28 = 220 \times (30-2) = 6600 - 440 = 6160\) ✓

Resultado: 6.160 equipos distintos posibles.